Stochastische Konvolution

Bezüglich zylindrischer Wienerprozesse

Sei ${\displaystyle H}$ ein reeller Hilbertraum, ${\displaystyle E}$ ein reeller Banachraum und ${\displaystyle L(H,E)}$ der Raum der beschränkten linearen Operatoren von ${\displaystyle H}$ nach ${\displaystyle E}$. Weiter sei ${\displaystyle B\in L(H,E)}$ und ${\displaystyle W_{t}}$ ein ${\displaystyle Q}$-zylindrischer Wiener-Prozess. Betrachte das stochastische Cauchy-Problem

${\displaystyle {\begin{aligned}dX(t)&=AX(t)\,dt+B\,dW_{t},&t\in [0,T],\\X(0)&=0\quad {\text{fast sicher}}.\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle A}$ der infinitesimale Generator einer ${\displaystyle C_{0}}$-Halbgruppe ${\displaystyle (S(t))_{t\geq 0}}$ von beschränkten linearen Operatoren auf ${\displaystyle E}$ ist.

Dann ist die stochastische Konvolution ${\displaystyle W_{A}(t)}$ gegeben durch das stochastische Integral

${\displaystyle W_{A}(t):=\int _{0}^{t}S(t-s)B\,dW_{s}.}$^[1]

Bezüglich martingalwertiger Maße

Sei ${\displaystyle \Phi }$ ein lokalkonvexer Raum, ${\displaystyle \Phi '}$ sein topologischer Dualraum, ${\displaystyle M}$ ist ein zylindrisches martingalwertiges Maß mit Werten in ${\displaystyle \Phi '}$. Betrachte die folgende stochastische Evolutionsgleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=\left(A'X_{t}+B(t,X_{t})\right)\,dt+\int _{U}F(t,u,X_{t})\,M(dt,du),\quad t\geq 0,\\X_{0}&=Z_{0}.\end{aligned}}}$

wobei

• ${\displaystyle U}$ ein topologischer Raum ist,
• ${\displaystyle A'}$ ist der adjungierte Operator des Generators ${\displaystyle A}$ einer ${\displaystyle C_{0}}$-Halbgruppe ${\displaystyle (S(t))_{t\geq 0}}$ auf einem nuklearen Raum ${\displaystyle \Psi }$ ist,
• ${\displaystyle Z_{0}}$ eine ${\displaystyle \Phi '}$-wertige Zufallsvariable,
• ${\displaystyle F(t,u,x)}$ und ${\displaystyle B(t,x)}$ entsprechende messbare Anforderungen erfüllen.

Die stochastische Konvolution ist definiert als

${\displaystyle W_{A}(t):=\int _{0}^{t}\int _{U}S(t-s)'F(s,u,X_{s})\,M(ds,du).}$^[2]