Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky^[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen ${\displaystyle x,y}$ und einen Parameter ${\displaystyle p}$ ist das Stolarsky-Mittel definiert als

${\displaystyle S_{p}(x,y)\,=\,\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1 \over p-1}\,=\,{\begin{cases}x&{\mbox{falls }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1 \over p-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$^[2][3]

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ mit ${\displaystyle \xi \not =\eta }$ zu bilden. Im Falle ${\displaystyle x=y}$ ist der Grenzwert die ${\displaystyle {1 \over p-1}}$-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{p}}{p}}}$ und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit ${\displaystyle x}$ überein.