Substitution (Mathematik)

Biquadratische Gleichung

Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die Lösungsmenge einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bzw. eines Polynoms 4. Grades zu bestimmen.^[1]

Die Gleichung

${\displaystyle x^{4}+x^{2}-2=0}$

lässt sich durch die Substitution ${\displaystyle t:=x^{2}}$ in

${\displaystyle t^{2}+t-2=0}$

überführen. Diese quadratische Gleichung lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der p-q-Formel lösen. Man erhält als Lösungen ${\displaystyle t_{1}=1}$ und ${\displaystyle t_{2}=-2}$. Durch Rücksubstitution erhält man für ${\displaystyle x}$ die Gleichungen

${\displaystyle x^{2}=1}$

mit den Lösungen ${\displaystyle x_{1}=1}$ und ${\displaystyle x_{2}=-1}$ sowie

${\displaystyle x^{2}=-2}$

mit den komplexen Lösungen ${\displaystyle x_{3}=i{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle x_{4}=-i{\sqrt {2}}}$. Die Ausgangsgleichung hat somit als Lösungsmenge ${\displaystyle \{1,-1\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle \{1,-1,i{\sqrt {2}},-i{\sqrt {2}}\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Gleichung mit Exponentialfunktion

Es sind alle ${\displaystyle x\in S_{\pi }\subset \mathbb {C} }$ gesucht, welche die Gleichung

${\displaystyle \exp(2x)-2\exp(x)-3=0}$

lösen, wobei der Fundamentalstreifen durch ${\displaystyle S_{\pi }:=\{z\in \mathbb {C}$ :-\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi \}} gegeben ist.

Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution ${\displaystyle t:=\exp(x)}$ umformulieren zu

${\displaystyle t^{2}-2t-3=(t-3)(t+1)=0,}$

mit Lösungen ${\displaystyle t_{1}=3,t_{2}=-1}$.

Durch Resubstitution erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. In ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ergibt sich die Lösungsmenge ${\displaystyle \{\ln(3)\}}$ und auf dem Fundamentalstreifen ist die Lösungsmenge ${\displaystyle \{\ln(3),\,i\,\pi \}}$.