Summe von drei Kubikzahlen

Die Summe von drei Kubikzahlen bezeichnet ein ungelöstes Problem der Zahlentheorie, welches wie folgt lautet:

Lässt sich eine gegebene Zahl $n$ als Summe dreier Kubikzahlen darstellen?  Wenn ja, auf wie viele verschiedene Weisen?

Zum Beispiel lässt sich die Zahl $10$ u. a. als die Summe der drei Kubikzahlen $1^{3}=1$ , $\,1^{3}=1$ und $2^{3}=8$ darstellen↓. Für die Zahl $13$ existiert dagegen nachweislich keine solche Zerlegung↓. Ist $n$ eine beliebige ganze Zahl, so geht es um die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ .

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene $n$ ist ein seit 200 Jahren (1825) ungelöstes Problem der Zahlentheorie.^[1]^[2] Seit mehr als 70 Jahren sind durch Einsatz von Computern und Brute-Force-Suche viele einzelne Lösungen (bis in den Bereich von 10²⁰) gefunden worden, eine grundlegend analytische Lösung steht aber weiterhin aus.

Eigenschaften

Wichtige Vorbemerkung

Da Permutationen von Kubikzahlen ebenfalls Lösungen sind, werden diese nicht explizit angegeben.
Lösungen werden immer in der Sortierung

|x|\leq |y|\leq |z|

angegeben, im Falle von Betragsgleichheit werden die Werte nach ihrem Wert sortiert.
Weiterhin werden Lösungen für negative $n$ nicht angeben, da aus $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ die Lösung $(-x)^{3}+(-y)^{3}+(-z)^{3}=-n$ für negative $n$ folgt.

Es geht um die Lösung der Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $n,\ x,\ y,\ z\in \mathbb {Z}$ . Für $n=9k\pm 4$ ist bekannt und beweisbar, dass es keine Lösungen geben kann, für $n=9k\pm 0\ldots 3$ wird zwar vermutet, dass es immer (sogar unendlich viele) Lösungen gibt. Hierbei handelt es sich allerdings um eine unbewiesene Vermutung. Lösungen werden heutzutage im Wesentlichen mittels Computer per Brute Force bestimmt. Die Anzahl der bekannten Lösungen variiert hierbei erheblich, für z. B. $n=0,\ n=1,\ n=2,\ n=k^{3}$ und $n=2k^{3}$ kann man sehr einfach unendlich viele Lösungen konstruieren, für $n=3$ sind drei Lösungen↓ bekannt und für $n=114$ ↓ wird vermutet, dass es (unendlich viele) Lösungen gibt, es ist aber aktuell keine Lösung bekannt.

Lösungen werden betreffs folgender Kriterien klassifiziert:

trivial, falls einer der Koeffizienten $=0$ .
nicht-primitiv, falls durch Erweiterung mit einer Kubikzahl aus einer kleineren Lösung entstanden
Weiterhin gibt es für Kubikzahlen $n=k^{3}$ unendlich viele Lösungen $(-a,+a,k)$ mittels $n=(-a)^{3}+(+a)^{3}+k^{3}$ für beliebige $a$ . Für $n=0$ sind das alle Lösungen, für $n\neq 0$ gibt es weitere Lösungen.

Die folgende Tabelle enthält die Anzahl der Lösungen bis $2^{26}$ , die sich nicht mittels der dritten Methode konstruieren lassen bzw. die ungefähre Größe der kleinsten bekannten Lösung.

Weitere Informationen n ...

n	00	01	02	03	04	06	07	08	09	10	11	12	13	15	16	17
000	keine	385	225	2	keine Lösungen	6	7	543	3	5	7	2	keine Lösungen	6	180	9
018	13	8	15	8		2	5	6	555	12	14	≈10⁹		≈10¹⁶	15	14
036	11	5	3	1		≈10¹⁷	17	5	8	7	8	8		3	≈10¹¹	11
054	162	18	15	15		4	3	17	13	719	8	3		7	10	22
072	5	12	≈10¹⁴	≈10⁹		2	5	9	8	5	23	2		1	14	7
090	32	16	19	3		3	19	7	29	4	6	1		1	8	6
108	6	17	≈10¹⁰	5		???	6	8	4	24	9	11		2	4	528

Schließen

Lösungen für $|x|,\ |y|,\ |z|\gg {\sqrt[{3}]{n}}$ haben eine der beiden Formen

n=(+|x|)^{3}+(+|y|)^{3}+(-|z|)^{3}\quad

oder

n=(-|x|)^{3}+(-|y|)^{3}+(+|z|)^{3}

,

d. h. die beiden kleineren Terme haben das gleiche Vorzeichen und der größere Term das entgegengesetzte Vorzeichen. Die anderen sechs Fälle treten nur für sehr kleine $|x|,\ |y|,\ |z|$ auf, wie z. B.

3=1^{3}+1^{3}+1^{3}

.

Bekannte Voraussetzungen, für die es Lösungen oder keine Lösungen gibt

Sei $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für $n$ die folgende:

n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}

Ausführlicher Beweis dieses Satzes

Für den Beweis benötigen wir zuerst folgenden Hilfssatz:

Für jede Kubikzahl

x^{3}

mit

x\in \mathbb {Z}

gilt:

x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}

Beweis dieses Hilfssatzes:

Wir testen alle neun möglichen Varianten

x\equiv 0\ldots 8{\pmod {9}}

durch:

{\begin{array}{rlr}{\text{Für }}x\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 0^{3}=0&0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 1{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 1^{3}=1&+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 2{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 2^{3}=8&-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 3{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 3^{3}=27\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 4{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 4^{3}=64\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 5{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 5^{3}=125\equiv &-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 6{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 6^{3}=216\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 7{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 7^{3}=343\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 8{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 8^{3}=512\equiv &-1{\pmod {9}}\end{array}}

Somit gilt für alle

x\in \mathbb {Z}

, dass nur

x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}

sein kann,

womit dieser Hilfssatz bewiesen ist.

Beweis des Hauptsatzes:

Nun muss bewiesen werden, dass die Summe

n

dreier Kubikzahlen nie

n\equiv 4{\text{ oder }}5{\pmod {9}}

sein kann.

Dazu addieren wir drei Zahlen

x^{3},y^{3}{\text{ und }}z^{3}

mit jeweils der Eigenschaft

x^{3},y^{3},z^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}{+1}{\pmod {9}}

.

Dabei sind für

n=x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,\ \ldots ,+3

erreichbar, da

maximal drei positive Gewichte

+1

(ergibt dann

+3

) oder

maximal drei negative Gewichte

-1

(ergibt dann

-3

) addiert werden können.

Da

n\equiv \pm 4\equiv -5{\pmod {9}}

nicht

n\equiv -3,\ \ldots ,+3{\pmod {9}}

erfüllen, sind sie durch keine der möglichen Summen erreichbar.

Somit ist immer

n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}

, was zu zeigen war. ∎

Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für $n$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ für alle $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.^[3]

Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen $x$ und $n$ , wie zum Beispiel die folgenden:^[4]

Sei

n=x^{3}+y^{3}+z^{3}

ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem

n

gelten die folgenden Bedingungen für

x

:

Wenn

n\equiv +2{\pmod {7}}

ist, muss gelten:

x\equiv 0,+1,+2

oder

+4{\pmod {7}}

.

Wenn

n\equiv -2{\pmod {7}}

ist, muss gelten:

x\equiv 0,-1,-2

oder

-4{\pmod {7}}

.

Wenn

n\equiv +3{\pmod {7}}

ist, muss gelten:

x\equiv +1,+2

oder

+4{\pmod {7}}

.

Wenn

n\equiv -3{\pmod {7}}

ist, muss gelten:

x\equiv -1,-2

oder

-4{\pmod {7}}

.

Wenn

n\equiv +2{\pmod {9}}

ist, muss gelten:

x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}

.

Wenn

n\equiv -2{\pmod {9}}

ist, muss gelten:

x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}

.

Wenn

n\equiv +3{\pmod {9}}

ist, muss gelten:

x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}

.

Wenn

n\equiv -3{\pmod {9}}

ist, muss gelten:

x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}

.

Chronologie der Entdeckungen

1825

S. Ryley, ein Schullehrer aus Leeds, beschäftigt sich mit dem Thema und findet eine generische Lösung für rationale Zahlen.

1908

A. S. Verebrusov findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für

n=2

.

1936

Kurt Mahler findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für

n=1

.

1942 und 1953

Louis Joel Mordell beschäftigt sich mit dem Thema. Die Ergebnisse findet man in seinem Buch „Diophantine Equations (1969)“^[5]

1954

Miller und Woollet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für

1\leq n\leq 100

per Brute-Force-Suche aller Kombinationen

|x|\leq |y|\leq |z|\leq 3164

.^[1]^[6]

Die Berechnungen wurden auf einer Electronic Delay Storage Automatic Calculator in Cambridge durchgeführt.^[7]^[8]

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen

30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84

und

87

.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

$70=$	$11^{3}\ \$	$+$	$20^{3}\ \$	$+$	$(-21)^{3}$
$96=$	$14^{3}\ \$	$+$	$20^{3}\ \$	$+$	$(-22)^{3}$
$79=$	$(-19)^{3}$	$+$	$(-33)^{3}$	$+$	$35^{3}\ \$
$78=$	$26^{3}\ \$	$+$	$53^{3}\ \$	$+$	$(-55)^{3}$
$51=$	$602^{3}\ \$	$+$	$659^{3}\ \$	$+$	$(-796)^{3}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weitere Lösungen für

1\leq n\leq 1000

mit

|x|\leq |y|\leq 2^{16}

und

0\leq z-x\leq 2^{16}

.^[1]

Für

n\leq 100

fanden sie folgende weitere Lösung:

87=(-1.972)^{3}+(-4.126)^{3}+\;4.271^{3}

Für

n\leq 1000

fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

$978=$	$8.666^{3}\ \$	$+$	$40.169^{3}\ \$	$+$	$(-40.303)^{3}$
$402=$	$37.685^{3}\ \$	$+$	$41.378^{3}\ \$	$+$	$(-49.915)^{3}$
$583=$	$(-17.419)^{3}$	$+$	$(-48.223)^{3}$	$+$	$48.969^{3}\ \$
$227=$	$24.579^{3}\ \$	$+$	$51.748^{3}\ \$	$+$	$(-53.534)^{3}$
$971=$	$7.423^{3}\ \$	$+$	$55.643^{3}\ \$	$+$	$(-55.687)^{3}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

39=\;117.367^{3}+\;134.476^{3}+(-159.380)^{3}

1994

Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

84=(-8.241.191)^{3}+(-41.531.726)^{3}+\;41.639.611^{3}

1999

Durch Finden weiterer drei Lösungen waren für

n\leq 100

bereits für 75 verschiedene

n

Lösungen bekannt. Die neuen Lösungen waren:

$75=$	$4.381.159^{3}\ \$	$+$	$435.203.083^{3}\ \$	$+$	$(-435.203.231)^{3}$
$30=$	$(-283.059.965)^{3}$	$+$	$(-2.218.888.517)^{3}$	$+$	$2.220.422.932^{3}\ \$
$52=$	$23.961.292.454^{3}\ \$	$+$	$60.702.901.317^{3}\;$	$+$	$(-61.922.712.865)^{3}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für

n=33,\ 42

und

74

.

Für

n\leq 1000

fanden sie 751 der 778 Lösungen.^[1]

2007

fehlten nur noch für folgende

n

zwischen

1

und

1000

obige Lösungen:^[1]

33,\ 42,\ 74,\ \ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921

und

975

26. April 2016

wurde das Problem für

n=74

von Sander Huisman gelöst:^[9]

74=\;66.229.832.190.556^{3}+\;283.450.105.697.727^{3}+(-284.650.292.555.885)^{3}

28. April 2019

wurde das Problem für

n=33

vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:^[10]^[11]

33=(-2.736.111.468.807.040)^{3}+(-8.778.405.442.862.239)^{3}+\;8.866.128.975.287.528^{3}

6. September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl

n\leq 100

, nämlich für

n=42

ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:^[12]^[13]

42=\;12.602.123.297.335.631^{3}+\;80.435.758.145.817.515^{3}+(-80.538.738.812.075.974)^{3}

Da

n=42

das letzte ungelöste Problem bis

n\leq 100

für diese Art von Gleichung war und das Ergebnis „42“ schon vorher feststand, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.^[14]

Die Suche findet dabei auf bis zu einer halben Million Rechnern von Freiwilligen statt.^[8]

24. Oktober 2019

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

$165=$	$\;98.422.560.467.622.814^{3}$	$+$	$\;383.344.975.542.639.445^{3}$	$+$	$(-385.495.523.231.271.884)^{3}$
$795=$	$\;2.337.348.783.323.923^{3}$	$+$	$\;14.197.965.759.741.571^{3}$	$+$	$(-14.219.049.725.358.227)^{3}$
$906=$	$\;35.961.979.615.356.503^{3}$	$+$	$\;72.054.089.679.353.378^{3}$	$+$	$(-74.924.259.395.610.397)^{3}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen war somit nur noch für die folgenden acht Werte für

n\leq 1000

unbekannt:^[12]

114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921

und

975

5. Januar 2021

wurde, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, ein weiterer Fall gelöst:

759=(-6.941.531.883.806.363.291)^{3}+(-143.070.303.856.622.169.975)^{3}+\;143.075.750.505.019.222.645^{3}

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden sieben Werte für

n\leq 1000

unbekannt (Stand: 5. Januar 2021):^[12]

114,\ 390,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921

und

975

Momentan ist also die Gleichung $114=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen $n\in \mathbb {N} _{0}$ , für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Beispiele für Lösungen der Gleichung

Lösungen, in denen (mindestens) eine der Zahlen $x,\ y,\ z=0$ ist, nennen man triviale Lösungen. Sind alle ungleich 0, nennt man sie nicht-triviale Lösungen.
Lösungen, in denen $x,\ y,\ z$ teilerfremd sind, nennt man primitive Lösungen, andernfalls nicht-primitive Lösungen.

Lösungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für $n=0$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

0=0^{3}+0^{3}+0^{3}

.

Weitere triviale Lösungen lauten:

0=0^{3}+(-a)^{3}+\;a^{3}

mit

a\in \mathbb {Z}

.

Nichttriviale Lösungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form

0=x^{3}+y^{3}+z^{3}

mit

x,y,z\not =0

. Genau eine oder zwei der Variablen

x,y,z

müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass

x>0,y>0,z<0

(Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung

-x,-y,-z

). Bringt man

z^{3}

auf die rechte Seite, erhält man mit

x^{3}+y^{3}=-z^{3}

eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung

x^{3}+y^{3}=z'^{3}

mit

z'=-z>0

. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung

x^{3}+y^{3}=z^{3}

für positive ganze Zahlen

x,y,z\in \mathbb {N}

keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form

x^{3}+y^{3}+z^{3}=0

geben kann. ∎

Lösungen für n = 1

Die triviale Darstellung für $n=1$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

1=0^{3}+0^{3}+1^{3}

.

Neben dieser existieren aber auch weitere Lösungen (350 Stück bis 50·10⁶), wie z. B.:

1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}\qquad

(kleinste Lösung, die nicht trivial und nicht einfach konstruierbar ist)

...

1=11980^{3}+\;131769^{3}+(-131802)^{3}

...

1=995329^{3}+\;47775744^{3}+(-47775888)^{3}

Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Lösungen. Die einfachste lautet:

1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}

mit

c\in \mathbb {Z}

.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:^[1]

1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}

mit

c\in \mathbb {Z}

\ \ =\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}+\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}=1

wie auch folgende:^[1]

1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}

mit

c\in \mathbb {Z}

.

Für $n=1$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien^[15]. Neben

(x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})

,

(x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})

lassen sich für jedes einzelne $c\in \mathbb {Z}$ unendlich viele weitere Tripel $(x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})$ mit $k\geq 2$ rekursiv mittels

x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}

,

y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}

und

z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4

konstruieren.^[15] Für $k=0$ und $1$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für $k=2$ die kompliziertere.

Lösungen für n = 2

Die triviale Darstellung für $n=2$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

2=0^{3}+1^{3}+1^{3}

,

die ersten nicht-triviale

2=(-5)^{3}+(-6)^{3}+\;7^{3}

.

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet^[1]

2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}

mit

c\in \mathbb {Z}

.

Weitere bekannte Lösungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

$2=$	$1.214.928^{3}\ \$	$+$	$3.480.205^{3}\ \$	$+$	$(-3.528.875)^{3}$
$2=$	$(-25.282.289.375)^{3}$	$+$	$(-33.071.554.596)^{3}$	$+$	$37.404.275.617^{3}\ \$
$2=$	$1.490.220.318.001^{3}\ \$	$+$	$3.737.830.626.090^{3}\ \$	$+$	$(-3.815.176.160.999)^{3}$

Lösungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Lösungen für $n=3$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

3=1^{3}+1^{3}+\quad 1^{3}

und

3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:^[16]

3=(-472.715.493.453.327.032)^{3}+(-569.936.821.113.563.493.509)^{3}+\;569.936.821.221.962.380.720^{3}

Damit konnte schließlich eine 1953 von L. Mordell gestellte Frage nach 66 Jahren (47 Jahre nach seinem Tod) beantwortet werden:

Are there any solutions for  n = 3  other than permutations of  (1, 1, 1)  and  (4, 4, −5) ?

Allerdings steht nach Kenntnis dieser drei Lösungen die Frage

Gibt es mehr als diese drei Lösungen ?

im Raum, denn es ist weiterhin unbekannt, ob es nun drei, vier, zweiundvierzig, endlich viele oder unendlich viele Lösungen für $n=3$ gibt oder ob die Frage im Sinne von Gödel nicht entscheidbar ist.

Lösungen für n = 4 und 5

Für $n=4$ und $5$ gibt es keine Lösungen. Da eine Kubikzahl $x^{3}$ modulo $9$ stets in der Menge $\{-1,0,1\}$ liegt, kann die Summe dreier Kubikzahlen $x^{3}+y^{3}+z^{3}\mod 9$ nur Werte zwischen $-3$ und $3$ annehmen. Das bedeutet, dass eine Zahl der Form $n=9k\pm 4$ für $k=0,1,\dots$ nicht als Summe dreier Kubikzahlen dargestellt werden kann. Dies betrifft insbesondere die Zahlen $4$ und $5$ .

Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für $n=9k\pm 4$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Lösungen für n = 6

Es gibt mehrere Lösungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:

$6=$	$(-1)^{3}$	$+$	$(-1)^{3}$	$+$	$2^{3}$
$6=$	$(-43)^{3}$	$+$	$(-58)^{3}$	$+$	$65^{3}$
$6=$	$(-55)^{3}$	$+$	$(-235)^{3}$	$+$	$236^{3}$
$6=$	$(-205)^{3}$	$+$	$(-637)^{3}$	$+$	$644^{3}$

Lösungen für n = 7

Es gibt mehrere Lösungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:

$7=$	$0^{3}\ \$	$+$	$(-1)^{3}$	$+$	$2^{3}\ \$
$7=$	$32^{3}\ \$	$+$	$104^{3}\ \$	$+$	$(-105)^{3}$
$7=$	$44^{3}\ \$	$+$	$168^{3}\ \$	$+$	$(-169)^{3}$

Lösungen für beliebige Kubikzahlen n = k³

Für Kubikzahlen $n=k^{3}$ lassen sich unendlich viele sehr einfache, aber nicht triviale Lösungen konstruieren:

n=k^{3}+(-a)^{3}+a^{3}\qquad

mit beliebigen

a\in \mathbb {Z}

Lösungen für n = 10

Es gibt mehrere Lösungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:

$10=$	$1^{3}\ \$	$+$	$1^{3}$	$+$	$2^{3}\ \$
$10=$	$(-3)^{3}$	$+$	$(-3)^{3}$	$+$	$4^{3}\ \$
$10=$	$130^{3}\ \$	$+$	$141^{3}\ \$	$+$	$(-171)^{3}$
$10=$	$(-353)^{3}$	$+$	$(-650)^{3}$	$+$	$683^{3}\ \$

Diese sind auf heutigen Computern schnell gefunden. Erst mit größerem Abstand findet man:

$10=$	$(-125.509)^{3}\ \$	$+$	$(-294.038)^{3}$	$+$	$301.471^{3}$
$10=$	$(-26.780.787)^{3}\ \$	$+$	$(-298.124.987)^{3}$	$+$	$298.197.006^{3}$

Lösungen für n = 13 und 14

Für $n=13$ und $14$ gibt es keine Lösungen. Man sehe sich hierzu den Beweis↓ an, dass für $n=9k\pm 4$ prinzipiell keine Lösungen existieren können.

Lösungen für n = 114

Für $n=114$ ist aktuell keine Lösung bekannt. Sie ist aktuell die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Man vermutet aber, dass es mit hoher Wahrscheinlichkeit (mindestens) eine Lösung gibt, dass diese aber so groß ist, dass man sie bisher mit Brute-Force noch nicht gefunden hat. Es gibt weder einen Beweis, dass eine Lösung existieren muss noch dass sie nicht existieren kann.

Lösungen für n = 327

$n=327$ weist erst für große Zahlen Lösungen auf, die aber dann vergleichsweise eng beieinander liegen. Auch das ist möglich.

$327=$	$(-55.495.503.315.494)^{3}$	$+$	$(-170.547.806.910.404)^{3}$	$+$	$172.484.397.062.815^{3}$
$327=$	$(-23.497.102.374.545)^{3}$	$+$	$(-608.821.354.548.722)^{3}$	$+$	$608.833.020.860.980^{3}$

(Konstruierbare) Lösungen für n = k³m bei für m bekannten Lösungen

Lässt sich $n$ als Produkt einer Kubikzahl $k^{3}$ und einer Zahl $m$ darstellen, erbt diese Zahl $n$ alle Lösungen der Zahl $m$ auf folgende Weise:

m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}

Beispiel: $1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+\;18^{3}$

Man nennt diese Lösungen nicht-primitive Lösungen. Ein Gegenbeispiel ist $8=15^{3}+33^{3}+(-34)^{3}$ als primitiv nicht-triviale Lösung.

Tabelle der kleinsten Lösungen für n = 0 bis 134

Folgende Tabelle enthält für $0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}$ die jeweils kleinsten (in Klammern, kursiv und in blau, wenn existent und abweichend, die kleinsten nichttrivialen) Lösungen der Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $|x|\leq |y|\leq |z|$ , $\ x,y,z\in \mathbb {Z}$ :^[17]^[18]^[9]^[19]^[20]^[21]

Tabelle der kleinsten Lösungen für

0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}

Weitere Informationen für

...

für $0\leq n\leq 26$
$n$	$x$	$y$	$z$
0	0 (N)	0 (N)	0 (N)
1	0 (−1)	0 (1)	1 (1)
2	0 (−5)	1 (−6)	1 (7)
3	1	1	1
4	keine Lösung N
5	keine Lösung N
6	−1	−1	2
7	0 (32)	−1 (104)	2 (−105)
8	0 (−1)	0 (1)	2 (2)
9	0 (−52)	1 (−216)	2 (217)
10	1	1	2
11	−2	−2	3
12	7	10	−11
13	keine Lösung N
14	keine Lösung N
15	−1	2	2
16	0 (−10)	2 (−12)	2 (14)
17	1	2	2
18	−1	−2	3
19	0 (−14)	−2 (−16)	3 (19)
20	1	−2	3
21	−11	−14	16
22	keine Lösung N
23	keine Lösung N
24	2	2	2
25	−1	−1	3
26	0 (161)	−1 (297)	3 (−312)

für $27\leq n\leq 53$
$n$	$x$	$y$	$z$
27	0 (−1)	0 (1)	3 (3)
28	0 (13)	1 (14)	3 (−17)
29	1	1	3
30	−283.059.965	−2.218.888.517	2.220.422.932
31	Es existiert keine Lösung. N
32	Es existiert keine Lösung. N
33	−2.736.111.468.807.040	−8.778.405.442.862.239	8.866.128.975.287.528
34	−1	2	3
35	0 (−8)	2 (−13)	3 (14)
36	1	2	3
37	0 (37)	−3 (50)	4 (−56)
38	1	−3	4
39	117.367	134.476	−159.380
40	Es existiert keine Lösung. N
41	Es existiert keine Lösung. N
42	12.602.123.297.335.631	80.435.758.145.817.515	−80.538.738.812.075.974
43	2	2	3
44	−5	−7	8
45	2	−3	4
46	−2	3	3
47	6	7	−8
48	−2	−2	4
49	Es existiert keine Lösung. N
50	Es existiert keine Lösung. N
51	602	659	−796
52	23.961.292.454	60.702.901.317	−61.922.712.865
53	−1	3	3

für $54\leq n\leq 80$
$n$	$x$	$y$	$z$
54	0 (−7)	3 (−11)	3 (12)
55	1	3	3
56	0 (−11)	−2 (−21)	4 (22)
57	1	−2	4
58	Es existiert keine Lösung. N
59	Es existiert keine Lösung. N
60	−1	−4	5
61	0 (668)	−4 (845)	5 (−966)
62	2	3	3
63	0 (−4)	−1 (−6)	4 (7)
64	0 (−1)	0 (1)	4 (4)
65	0 (85)	1 (91)	4 (−111)
66	1	1	4
67	Es existiert keine Lösung. N
68	Es existiert keine Lösung. N
69	2	−4	5
70	11	20	−21
71	−1	2	4
72	0 (7)	2 (9)	4 (−10)
73	1	2	4
74	66.229.832.190.556	283.450.105.697.727	−284.650.292.555.885
75	4.381.159	435.203.083	−435.203.231
76	Es existiert keine Lösung. N
77	Es existiert keine Lösung. N
78	26	53	−55
79	−19	−33	35
80	2	2	4

für $81\leq n\leq 107$
$n$	$x$	$y$	$z$
81	3	3	3
82	−11	−11	14
83	−2	3	4
84	−8.241.191	−41.531.726	41.639.611
85	Es existiert keine Lösung. N
86	Es existiert keine Lösung. N
87	−1972	−4126	4271
88	3	−4	5
89	6	6	−7
90	−1	3	4
91	0 (192)	3 (364)	4 (−381)
92	1	3	4
93	−5	−5	7
94	Es existiert keine Lösung. N
95	Es existiert keine Lösung. N
96	14	20	−22
97	−1	−3	5
98	0 (9)	−3 (14)	5 (−15)
99	2	3	4
100	−3	−6	7
101	−3	4	4
102	118	229	−239
103	Es existiert keine Lösung. N
104	Es existiert keine Lösung. N
105	−4	−7	8
106	2	−3	5
107	−28	−48	51

für $108\leq n\leq 134$
$n$	$x$	$y$	$z$
108	−948	−1165	1345
109	−2	−2	5
110	109.938.919	16.540.290.030	−16.540.291.649
111	148	1039	−1040
112	Es existiert keine Lösung. N
113	Es existiert keine Lösung. N
114	derzeit keine Lösung bekannt
115	8	11	−12
116	−1	−2	5
117	0 (−555)	−2 (−896)	5 (962)
118	3	3	4
119	−2	−6	7
120	946	1531	−1643
121	Es existiert keine Lösung. N
122	Es existiert keine Lösung. N
123	−1	−1	5
124	0 (1865)	−1 (46.500)	5 (−46.501)
125	0 (−1)	0 (1)	5 (5)
126	0 (−1)	1 (−6)	5 (7)
127	1	1	5
128	1	−6	7
129	1	4	4
130	Es existiert keine Lösung. N
131	Es existiert keine Lösung. N
132	95.309	101.783	−124.294
133	0 (14)	2 (29)	5 (−30)
134	1	2	5

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Literatur

W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. In: Contemporary Mathematics. Band 166, März 1992, S. 1–11 (psu.edu [PDF; abgerufen am 19. September 2019]).
Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. In: Mathematics of Computation. Band 61(203), Juli 1993, S. 235–244 (researchgate.net [abgerufen am 19. September 2019]).
Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. In: Mathematics of Computation. Band 62 (206), April 1994, S. 941–942, JSTOR:2153554.
Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. In: Mathematics of Computation. Band 66(218), April 1997, S. 841–851 (ams.org [PDF; abgerufen am 19. September 2019]).
Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. In: Mathematics of Computation. Band 676 (259), Juli 2007, S. 1683–1690 (ams.org [PDF; abgerufen am 19. September 2019]).
Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, arxiv:1604.07746.
Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Hrsg.: Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan. 21. Februar 2018, S. 1–23, arxiv:1802.06776.

Weblinks

Eric Rowland: Koyama’s table of integer solutions of n=x³+y³+z³. In: people.hofstra.edu/Eric_Rowland. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100).
Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. (PDF) Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019.
Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. (PDF) In: people.hofstra.edu/Eric_Rowland. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019.

Summe von drei Kubikzahlen

Eigenschaften

Bekannte Voraussetzungen, für die es Lösungen oder keine Lösungen gibt

Chronologie der Entdeckungen

Beispiele für Lösungen der Gleichung

Lösungen für n = 0

Lösungen für n = 1

Lösungen für n = 2

Lösungen für n = 3

Lösungen für n = 4 und 5

Lösungen für n = 6

Lösungen für n = 7

Lösungen für beliebige Kubikzahlen n = k³

Lösungen für n = 10

Lösungen für n = 13 und 14

Lösungen für n = 114

Lösungen für n = 327

(Konstruierbare) Lösungen für n = k³m bei für m bekannten Lösungen

Tabelle der kleinsten Lösungen für n = 0 bis 134

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Literatur

Weblinks

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