Symplektisches Thom-Spektrum

Das Thom-Spektrum ${\displaystyle \operatorname {MSp} (n)}$ der symplektischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ist das Einhängungsspektrum des Thom-Raumes des universellen Vektorbündels ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {H} }^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {BSp} (n)}$, also gegeben durch:^[1]

${\displaystyle \operatorname {MSp} (n):=\mathbf {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)=\Sigma ^{\infty -4n}\operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right).}$

Die Verschiebung ${\displaystyle -4n}$ kommt vom reellen Rang von ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {H} }^{n}}$ und sorgt dafür, dass Whitney-Summen mit trivialen Vektorbündeln keine Auswirkung haben. Es gilt ${\displaystyle \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }}\right)=\Sigma \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)}$ und dadurch ${\displaystyle \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\oplus {\underline {\mathbb {H} }}\right)=\Sigma ^{4}\operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)}$.) Die kanonische Inklusion ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\hookrightarrow \operatorname {Sp} (n+1)}$ induziert eine stetige Abbildung ${\displaystyle \operatorname {BSp} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSp} (n+1)}$ und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {H} }^{n}\oplus {\underline {\mathbb {H} }}\rightarrow \gamma _{\mathbb {H} }^{n+1}}$. Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung ${\displaystyle \Sigma ^{4}\operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)\rightarrow \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n+1}\right)}$^[2] und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus ${\displaystyle \operatorname {MSp} (n)\rightarrow \operatorname {MSp} (n+1)}$. Deren Grenzwert ist:

${\displaystyle \operatorname {MSp}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {MSp} (n).}

${\displaystyle \operatorname {Sp} (0)\cong 1}$ ist die triviale Gruppe, daher ist ihr Thom-Spektrum das Sphärenspektrum (beide sind jeweils die initialen Objekte in der Kategorie der Gruppen und Kategorie der Ringspektren):

${\displaystyle \operatorname {MSp} (0)=\mathbb {S} .}$

${\displaystyle \operatorname {MSp} (1)=\Sigma ^{\infty -4}\operatorname {BSp} (1)=\Sigma ^{\infty -4}\mathbb {H} P^{\infty }}$

Die kanonische Inklusion ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -4}S^{4}=\mathbb {S} =\operatorname {MSp} (0)\rightarrow \operatorname {MSp} (1)=\Sigma ^{\infty -4}\mathbb {H} P^{\infty }}$ ergibt sich dabei auch durch Anwendung von ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -4}}$ auf die kanonische Inklusion ${\displaystyle S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$.

Wegen ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$ bestehen zudem der Zusammenhang:

${\displaystyle \operatorname {MSp} (1)=\operatorname {MSU} (2).}$

Durch die Komposition des Nullschnitts und der kanonischen Projektion gibt es eine kanonische Abbildung:

${\displaystyle \operatorname {BSp} (n)\xrightarrow {0} D\left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)\twoheadrightarrow \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)=\operatorname {MSU} _{4n}.}$

Durch die Inklusion einer Faser ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\rightarrow \gamma _{\mathbb {H} }^{n}}$ (beschrieben durch den Rückzug entlang einer Punktinklusion ${\displaystyle \{*\}\rightarrow \operatorname {BSp} (n)}$) gibt es zudem eine kanonische Abbildung:

${\displaystyle S^{4n}\cong \operatorname {Th} (\mathbb {H} ^{n})\rightarrow \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)=\operatorname {MSp} _{4n}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {MSp} _{4n}=\operatorname {Th} (\gamma _{\mathbb {H} }^{n})}$ ist ${\displaystyle 4n-1}$-zusammenhängend.

Beweis: Allgemein ist für eine ${\displaystyle k}$-zusammenhängende Kofaserung ${\displaystyle A\rightarrow X}$ der Quotientenraum ${\displaystyle X/A}$ ebenso ${\displaystyle k}$-zusammenhängend. ${\displaystyle S(\gamma _{\mathbb {H} }^{n})\hookrightarrow D(\gamma _{\mathbb {H} }^{n})}$ ist als Inklusion einer abgeschlossenen Teilmenge eine Kofaserung und zudem homotopieäquivalent zum Faserbündel ${\displaystyle \operatorname {BSp} (n-1)\twoheadrightarrow \operatorname {BSp} (n)}$. (Für das Scheibenbündel ergibt sich das dadurch, dass der Nullschnitt und die kanonische Projektion eine Homotopieäquivalenz herstellen, da es faserweise zusammenziehbar ist.) Dieses ist ${\displaystyle 4n-1}$-zusammenhängend, da der klassifizierende Raum die Homotopiegruppen hinauf verschiebt und die kanonische Inklusion ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n-1)\hookrightarrow \operatorname {Sp} (n)}$ entsprechend ${\displaystyle 4n-2}$-zusammenhängend ist, was sich direkt aus der langen exakten Sequenz für Homotopiegruppen für das Faserbündel ${\displaystyle S^{4n-1}=\operatorname {Sp} (n)/\operatorname {Sp} (n-1)}$ ergibt.

• Die kanonische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {BSp} (1)\rightarrow \operatorname {MSp} _{4}}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz. (Insbesondere passt diese Aussage mit ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\cong S^{3}}$ zur vorherigen Eigenschaft.)

Beweis: Allgemein bilden der Nullschnitt ${\displaystyle 0\colon \operatorname {BSp} (n)\hookrightarrow D(\gamma _{\mathbb {H} }^{n})}$ und die kanonische Projektion ${\displaystyle D(\gamma _{\mathbb {H} }^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BSp} (n)}$ eine Homotopieäquivalenz, da das Scheibenbündel faserweise zusammenziehbar ist.

• Es gibt eine kanonische schwache Homotopieäquivalenz zum unendlichen quaternionischen projektiven Raum:^[3]

  ${\displaystyle \operatorname {MSp} _{4}\simeq \mathbb {H} P^{\infty }.}$

Beweis: Folgt direkt aus der vorherigen Eigenschaft mit der Homotopieäquivalenz ${\displaystyle \operatorname {BSp} (1)\simeq \mathbb {H} P^{\infty }}$. Alternativ lässt sich die Aussage explizit ausdrücken, da der Thom-Raum mit Limiten kommutiert und für quaternionische tautologische Geradenbündel genau die quaternionischen projektiven Räume gleicher Dimension ergibt, also ${\displaystyle \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,n}\right)\cong \mathbb {H} P^{n+1}}$.^[3] Insgesamt ist:

${\displaystyle \operatorname {MSp} _{4}=\operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{1}\right)\cong \operatorname {Th} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{\mathbb {H} }^{1,n}\right)\cong \lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,n}\right)\cong \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {H} P^{n+1}=\mathbb {H} P^{\infty }.}$

${\displaystyle \operatorname {MSp} }$ hat die Struktur eines Ringspektrums. Das Einselement ist der kanonische Spektrumhomomorphismus ${\displaystyle \mathbb {S} \cong \operatorname {MSp} (0)\rightarrow \operatorname {MU} }$. Die kanonische Inklusion ${\displaystyle \operatorname {Sp} (m)\times \operatorname {Sp} (n)\hookrightarrow \operatorname {Sp} (m+n)}$ induziert eine stetige Abbildung ${\displaystyle \operatorname {BSp} (m)\times \operatorname {BSp} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSp} (m+n)}$ und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {H} }^{m}\oplus \gamma _{\mathbb {H} }^{n}\rightarrow \gamma _{\mathbb {H} }^{m+n}}$. Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung ${\displaystyle \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{m}\right)\wedge \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{n}\right)\rightarrow \operatorname {Th} \left(\gamma _{\mathbb {H} }^{m+n}\right)}$ und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus ${\displaystyle \operatorname {MSp} (m)\wedge \operatorname {MSp} (n)\rightarrow \operatorname {MU} (m+n)}$. Dessen Grenzwert ist eine Verknüpfung:

${\displaystyle \operatorname {MSp} \wedge \operatorname {MSp} \rightarrow \operatorname {MSp} .}$

• Orthogonales Thom-Spektrum
• Unitäres Thom-Spektrum

• René Thom: Quelques propriétés globales des variétés différentiables. In: Comment. Math. Helv. Band 28, 1954, S. 17–86, doi:10.1007/BF02566923 (französisch, ed.ac.uk [PDF]).
• Sergei Novikov: Homotopy properties of Thom complexes. In: Mat. Sbornik. Band 57, Nr. 4, 1962, S. 407–442 (englisch, mi-ras.ru [PDF]).
• Pierre Conner und Edwin Floyd: The Relation of Cobordism to K-Theories. In: Lecture Notes in Mathematics. Band 28, 1966, doi:10.1007/BFb0071091 (englisch, ed.ac.uk [PDF]).
• Frank Adams: Stable homotopy and generalised homology. In: Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, 1974 (englisch, rochester.edu [PDF]).

• MSp auf nLab (englisch)