Talbot-Methode

Die Talbot Methode (oft auch Talbot-Algorithmus genannt) ist eine numerische Methode, um die inverse Laplace-Transformierte zu approximieren. ${\displaystyle F(p)}$ ist die bereits bekannte Laplace-Transformierte der gesuchten Funktion ${\displaystyle f(t)}$. Mittels der Talbot-Methode kann ${\displaystyle f(t)}$ entsprechend folgender Vorschrift näherungsweise gefunden werden:^[1][2]

${\displaystyle f(t)\approx {\frac {r}{N}}\left({\frac {F(r)\cdot e^{rt}}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}\Re \left(e^{t\cdot p(\theta _{k})}\cdot F(p(\theta _{k}))\cdot \left(1+i\zeta (\theta _{k})\right)\right)\right)}$

Dabei gilt:

${\displaystyle p(\theta )=r\cdot \theta \cdot \left(cot(\theta )+i\right)}$

${\displaystyle r={\frac {2\cdot N}{5\cdot t}}}$

${\displaystyle \zeta (\theta _{k})=\theta _{k}+\left(\theta _{k}\cdot cot(\theta _{k})-1\right)\cdot cot(\theta _{k})}$

${\displaystyle \theta _{k}={\frac {k\cdot \pi }{N}}}$

In Programmiersprachen, die mit komplexen Zahlen rechnen können und wo trigonometrische Funktionen vorprogrammiert sind (bsp. Python, Octave, MATLAB, Mathematica), ist die Methode einfach zu implementieren. Je größer man ${\displaystyle N}$ wählt umso größere Bereiche von ${\displaystyle f(t)}$ werden korrekt approximiert. Allerdings nimmt damit auch die Rechenzeit zu. Die Maschinengenauigkeit begrenzt das größtmögliche ${\displaystyle N}$, das rauschfreie Resultate liefert.