Tensoralgebra

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ (oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement). Wir definieren die Tensorprodukteräume

${\displaystyle V^{\otimes n}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{-mal}}}}$

für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit der Konvention ${\displaystyle V^{\otimes 0}:=K}$.

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.^[1][2]

${\displaystyle \mathrm {T} (V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }$

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ zu einer ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-graduierten unitären assoziativen Algebra.

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Sei ${\displaystyle V}$ein ${\displaystyle K}$-Vektorraum (beziehungsweise ein freier Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement) und ${\displaystyle A}$ eine assoziative ${\displaystyle K}$-Algebra mit einem Einselement ${\displaystyle e}$, sowie ${\displaystyle f\colon V\to A}$ eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathrm {T} (V)\to A}$, sodass das Diagramm

kommutiert.^[3][2] Diese Eigenschaft charakterisiert die Tensoralgebra bis auf Isomorphie. Der Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch ${\displaystyle {\tilde {f}}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{r})=f(v_{1})\dots f(v_{r})}$ sowie ${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\lambda e}$.

Aus der universellen Eigenschaft folgt, dass die Tensoralgebra ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ das freie Objekt in der Kategorie der assoziativen Algebren über ${\displaystyle K}$ mit Einselement ist.^[4][5] Ist der zugrundeliegende Vektorraum eindimensional (beziehungsweise der Modul von Rang 1) dann ist ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ also isomorph zum Polynomring ${\displaystyle K[X]}$. Ist allgemeiner ${\displaystyle X}$ eine beliebige nicht-leere Menge und ist ${\displaystyle V_{X}}$ der über ${\displaystyle X}$ erzeugte ${\displaystyle K}$-Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über ${\displaystyle X}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {T} (V_{X})}$ die frei über ${\displaystyle X}$ erzeugte assoziative Algebra.

${\displaystyle \mathrm {T} }$ ist ein Funktor von der Kategorie der ${\displaystyle K}$-Vektorräume in die Kategorie der ${\displaystyle K}$-Algebren.^[1] Für einen ${\displaystyle K}$-Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) ${\displaystyle \varphi \colon V\to W}$ ist ${\displaystyle \mathrm {T} (\varphi )\colon \mathrm {T} (V)\to \mathrm {T} (W)}$ durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch ${\displaystyle i_{W}\circ \varphi \colon V\to \mathrm {T} (W)}$ induziert wird (hierbei ist ${\displaystyle i_{W}\colon W\to \mathrm {T} (W)}$ die Einbettung).

Der Funktor ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer ${\displaystyle K}$-Algebra, den zugrundeliegenden ${\displaystyle K}$-Vektorraum zuordnet. Daher wird ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ auch als die freie Algebra über ${\displaystyle V}$ bezeichnet.

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra^[2], die äußere Algebra^[2] oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.