Torus-Satz von Alexander

Der Torus-Satz von Alexander besagt: Jeder differenzierbar eingebettete Torus

${\displaystyle T^{2}\subset S^{3}}$

berandet einen in der ${\displaystyle S^{3}}$ eingebetteten Volltorus.

Historische Anmerkung: Alexander bewies diesen Satz ursprünglich nicht für differenzierbare, sondern für PL-Einbettungen.^[1]

Der Satz von Alexander gilt analog auch in höheren Dimensionen:

Sei

${\displaystyle f\colon S^{p}\times S^{q}\to S^{p+q+1}}$

eine differenzierbare Einbettung mit ${\displaystyle p,q\geq 1}$. Wenn entweder ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$ und ${\displaystyle p+q\not =3}$ oder ${\displaystyle p=1}$ und ${\displaystyle q=2}$ gilt, dann ist der Abschluss einer der beiden Komponenten von

${\displaystyle S^{p+q+1}\setminus f(S^{p}\times S^{q})}$

diffeomeorph zu ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q}}$.^{[2][3][4][5][6]}

Dagegen gibt es differenzierbar eingebettete 3-Tori ${\displaystyle T^{3}\subset S^{4}}$, die keine zu ${\displaystyle D^{2}\times T^{2}}$ homöomorphe Untermannigfaltigkeit beranden.^[7][8]