Total separierter Raum

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt total separiert, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle x\not =y}$ aus ${\displaystyle X}$ eine offen-abgeschlossene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ gibt mit ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle y\notin U}$.

Beachte, dass die Definition symmetrisch bzgl. ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist, denn mit ${\displaystyle U}$ ist ja auch ${\displaystyle X\setminus U}$ offen-abgeschlossen.

• Diskrete Räume sind total separiert. Allgemein hat man für Hausdorffräume folgende Beziehungen, die weitere Beispiele liefern:

Diskret  ${\displaystyle \Rightarrow }$  extremal unzusammenhängend  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total separiert  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total unzusammenhängend.

• Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ist total unzusammenhängend aber nicht total separiert.
• Nulldimensionale T₀-Räume sind total separiert.^[1] Nulldimensionale Räume passen nicht in obige Reihe, da es extremal unzusammenhängende Hausdorffräume gibt, die nicht nulldimensional sind.^[2] Dies zeigt gleichzeitig, dass aus der totalen Separiertheit auch im Falle von Hausdorffräumen nicht deren Nulldimensionalität folgt, wie auch das folgende Beispiel zeigt:
• Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ der irrationalen Zahlen sei eine Menge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ offen genau dann, wenn es für alle ${\displaystyle x\in U}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ gibt, so dass aus ${\displaystyle y\in {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ folgt, dass ${\displaystyle y\in U}$ gilt. Das definiert eine Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$, die total separiert aber nicht nulldimensional ist.^[3]

• Unterräume total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Produkte total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Jeder total separierte Raum ist hausdorffsch, denn die definierende Eigenschaft liefert für je zwei Punkte trennende offene Umgebungen.^[4]
• Ein lokalkompakter Hausdorffraum ist genau dann total separiert, wenn er total unzusammenhängend ist.^[5]