Triviale Topologie

Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge. Die triviale Topologie auf ${\displaystyle X}$ ist die Topologie, bei der nur die Menge ${\displaystyle X}$ und die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ offen sind.^[4]

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.

• Alle Punkte in ${\displaystyle X}$ sind topologisch ununterscheidbar.
• Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge ${\displaystyle X}$ abgeschlossen.
• Der Raum ${\displaystyle X}$ ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
• Der Raum ${\displaystyle X}$ ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach ${\displaystyle X}$ ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
• Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
• Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
• Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.

Ist ${\displaystyle X}$ zusätzlich ein reeller oder komplexer Vektorraum, so ist ${\displaystyle X}$ mit der trivialen Topologie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Diese Topologie wird durch die Null-Halbnorm, also durch eine Funktion die jeden Vektor auf null abbildet, erzeugt.

• Diskrete Topologie