Verklebungslemma

Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:^{[4][5][2][3][6]}

Gegeben seien zwei topologische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Weiter gegeben seien eine Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ von ${\displaystyle X}$ und dazu eine Familie stetiger Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon \,A_{i}\to Y}$.^[7]

Dabei möge gelten:

(1) Für ${\displaystyle i,j\in I}$ und ${\displaystyle x\in A_{i}\cap A_{j}}$ sei stets ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{j}(x)}$.

(2) Die ${\displaystyle A_{i}}$ seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle X}$, wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ eine lokalendliche Überdeckung von ${\displaystyle X}$ darstelle.

Dann gilt:

Durch die Zuordnungsvorschrift

${\displaystyle x\mapsto f(x):=f_{i}(x)\;(i\in I\;,\;x\in A_{i})}$

ist eine Abbildung

${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$

gegeben und diese ist stetig.

Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:^[8]

Hat ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ eine offene Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i=1,\ldots ,n}\;(n\in \mathbb {N} )}$, so ist eine auf ihm gegebene Abbildung ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ in einen weiteren topologischen Raum ${\displaystyle Y}$ genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung ${\displaystyle f|_{A_{i}}}$ stetig ist.

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge ${\displaystyle B\subseteq Y}$ gültigen Gleichung

${\displaystyle f^{-1}(B)=\bigcup _{i\in I}{f_{i}}^{-1}(B)}$

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen ${\displaystyle A\cap A_{i}\;(i\in I)}$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ${\displaystyle A_{i}}$ ist.

• Finaltopologie

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
• Fred H. Croom: Principles of Topology. Saunders, Philadelphia 1989, ISBN 0-03-012813-7.
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry (= Undergraduate texts in mathematics). Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, ISBN 0-387-90202-3 (MR0413152).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).