Vollständig normaler Raum

Ein topologischer Raum heißt vollständig normal, wenn jede Teilmenge mit der Teilraumtopologie normal ist.

Nach dieser Definition ist insbesondere der Raum selbst normal.

Ob vollständig normale Räume auch Hausdorffräume sein sollen, wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt. Manche Autoren nennen vollständig normale Räume T₅-Räume, wenn sie zusätzlich die T₁-Eigenschaft haben, sie sind dann automatisch Hausdorffräume.^[1][2] Es gibt auch Autoren, die diese Begriffe genau umgekehrt verwenden.^[3] Die unten aufgeführten Beispiele sind durchweg Hausdorffräume.

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sind folgende Aussagen äquivalent:^[4]

• ${\displaystyle X}$ ist vollständig normal
• Jede offene Teilmenge ist mit der Teilraumtopologie ein normaler Raum
• Je zwei separierte Mengen können durch offene Mengen getrennt werden.

Letztere Bedingung bedeutet genauer: Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Teilmengen von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle A\cap {\overline {B}}={\overline {A}}\cap B=\emptyset }$, so gibt es offene Mengen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle A\subseteq U}$, ${\displaystyle B\subseteq V}$ und ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$.

• Metrische Räume sind vollständig normal, denn jeder Teilraum ist mit der eingeschränkten Metrik wieder ein metrischer Raum und daher normal.
• Allgemeiner sind perfekt normale Räume vollständig normal.^[5]
• Der überabzählbare Fort-Raum ist ein vollständig normaler Raum, der nicht perfekt normal ist.^[6]
• Die Tichonow-Planke ist ein normaler, sogar kompakter Raum, der nicht vollständig normal ist.^[7]