Warschauer Kreis

Als Warschauer Kreis bezeichnet man eine abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle W\subset \mathbb {R} ^{2}}$ der Ebene, die aus einem Teil des Graphen

${\displaystyle G=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y=\sin({\tfrac {1}{x}}),\;x\in (0,1]\}}$

und der Strecke

${\displaystyle Y=\left\{(0,y)\in \mathbb {R} ^{2}|-1\leq y\leq 1\right\}}$

der y-Achse durch Hinzufügen einer beide Teile verbindenden Kurve ${\displaystyle C}$ entsteht:

${\displaystyle W=G\cup Y\cup C.}$

Statt ${\displaystyle (0,1]}$ kann man auch einen anderen Intervall nehmen.

• ${\displaystyle W}$ ist kein CW-Komplex und auch nicht homotopieäquivalent zu einem CW-Komplex.
• ${\displaystyle W}$ ist nicht lokal wegzusammenhängend.
• ${\displaystyle W}$ ist einfach zusammenhängend.
• Die Čech-Homologie ${\displaystyle {\breve {H}}_{*}(W)}$ und Čech-Kohomologie ${\displaystyle {\breve {H}}^{*}(W)}$ von ${\displaystyle W}$ stimmt mit der des Kreises überein. Die singuläre Homologie und Kohomologie von ${\displaystyle W}$ sind jedoch trivial.^[2] (Hingegen ist für Räume vom Homotopietyp eines CW-Komplexes die Čech-Kohomologie stets zur singulären Kohomologie isomorph.)
• ${\displaystyle W}$ hat keine universelle Überlagerung. Die verallgemeinerte universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {W}}}$ ist ein halboffenes Intervall.
• Die verallgemeinerte universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {W}}\to W}$ ist eine Faserung und hat die eindeutige Hochhebungseigenschaft (zu jedem Weg existiert eine eindeutige Hochhebung). Sie ist aber (wegen ${\displaystyle {\breve {H}}^{1}(W)\not =0}$) kein Homöomorphismus und kann demzufolge (wegen ${\displaystyle \pi _{1}W=0}$) auch keine Überlagerung sein.
• Der Quotientenraum ${\displaystyle W/Y}$ ist homöomorph zum Kreis ${\displaystyle S^{1}}$, die Quotientenabbildung ${\displaystyle W\to S^{1}}$ kann nicht zu einer Abbildung ${\displaystyle W\to \mathbb {R} ^{1}}$ hochgehoben werden. Dies ist zum einen bemerkenswert, weil wegen ${\displaystyle \pi _{1}W=0}$ der induzierte Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}W\to \pi _{1}S^{1}}$ selbstverständlich zu einem Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}W\to \pi _{1}\mathbb {R} ^{1}}$ hochgehoben werden kann. Zum anderen beweist es, dass die Abbildung ${\displaystyle W\to S^{1}}$ nicht nullhomotop ist (denn die Projektion ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}\to S^{1}}$ ist eine Serre-Faserung), es gilt also für ${\displaystyle W}$ nicht die für CW-Komplexe bekannte Beziehung, dass Homotopieklassen von Abbildungen ${\displaystyle W\to S^{1}}$ durch die singuläre Kohomologie ${\displaystyle H^{1}(W;\mathbb {Z} )}$ klassifiziert werden.
• Es gibt eine Faserung ${\displaystyle F\to E\to B}$ mit Basis ${\displaystyle B=W}$, in der ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle E}$ den Homotopietyp eines CW-Komplexes haben, die Basis ${\displaystyle W}$ aber nicht.^[3] (Hingegen ist bekannt, dass ${\displaystyle F}$ den Homotopietyp eines CW-Komplexes hat, wenn dies auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle B}$ zutrifft und dass ${\displaystyle E}$ den Homotopietyp eines CW-Komplexes hat, wenn dies auf ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle B}$ zutrifft.) Weiterhin sind in dieser Faserung ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle E}$ kontrahierbar, die Basis ${\displaystyle W}$ aber nicht.^[4]