Zwillingssätze von Brun

Die Zwillingssätze von Brun sind zwei Sätze des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie. Sie gehen zurück auf den norwegischen Mathematiker Viggo Brun und liefern zwei Ungleichungen für gewisse äquidistante Paare von Primzahlen und damit insbesondere für Primzahlzwillinge. Die Beweise beider Sätze lassen sich mit Siebmethoden führen.^[1]^[2]^[3]

Formulierung

An die Darstellung von Georg Johann Rieger angelehnt lassen sich die Sätze folgendermaßen formulieren:^[1.1]

Satz I

Es existiert eine positive Zahl $A$ derart, dass für jede reelle Zahl $x>1$ und jede natürliche Zahl $k=1,2,3,\ldots$ die dazu gehörige Anzahl

{\pi }_{k}(x)=:\#\{p\;\mid \;p\;{\text{Primzahl}}\;,\;(p+k){\text{ Primzahl}}\;,\;p\leq x\}

stets der Ungleichung

{\pi }_{k}(x)<A\cdot {\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\cdot {\frac {k}{\phi (k)}}

genügt.^{[AuH 1]}

Satz II ^{[AuH 2]}

Es existiert eine positive Zahl $B$ derart, dass für jede natürliche Zahl $k=1,2,3,\ldots$ die Ungleichung

\sum \limits _{p\;{\text{Primzahl und}} \atop \;\ (p+k)\;{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p}}<B\cdot {\frac {k}{\phi (k)}}

besteht.^{[AuH 3]}^{[AuH 4]}

Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge University Press, Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2, Kap. 2 (zbMATH Open).
Karl Prachar: Primzahlverteilung (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 91). Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1957, Kap. 2 (zbMATH Open).
Georg Johann Rieger: Zahlentheorie (= Studia Mathematica. Band XXIX). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, Kap. 8 (zbMATH Open).
Harald Scheid: Zahlentheorie. 2. Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-14842-X, Kap. 8.

[1]
Dabei wird mit $\ln$ der natürliche Logarithmus bezeichnet und mit $\phi$ die eulersche Phi-Funktion.
[2]
Satz II beruht auf Satz I. Dabei spielt für den Beweis eine Rolle, dass für jedes ${\alpha }>1$ die Reihe

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)\left(\ln(n)\right)^{\alpha }}}$

und insbesondere für ${\alpha }=2$ die Reihe

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)\left(\ln(n)\right)^{2}}}$

konvergent ist. (Vgl. hierzu Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 2). 3., vermehrte und verbesserte Auflage. Verlag von Julius Springer, Berlin 1931, Kap. 9, S. 289 (zbMATH Open).!)
[3]
Mit Satz II ist insbesondere gesichert, dass die aus den Kehrwerten aller Primzahlzwillinge gebildete endliche oder unendliche Summe

$\sum \limits _{p\;{\text{Primzahl und}} \atop \;\ (p+2)\;{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p}}$

und folglich auch die brunsche Konstante als reelle Zahlen existieren.
[4]
Aus Satz II kann jedoch weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung der Primzahlzwillingsvermutung geschlussfolgert werden. Angesichts des bekannten Satzes von Euler, wonach

$\sum \limits _{p\;{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p}}=\infty$

ist, lässt sich lediglich festhalten, dass Primzahlzwillinge wesentlich seltener vorkommen als Primzahlen.