Étale Fundamentalgruppe

Summarize Timeline Fact Check

Sei ${\displaystyle X}$ ein Schema und ${\displaystyle x}$ ein geometrischer Basispunkt von ${\displaystyle X}$, das bedeutet ein Morphismus ${\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} (\Omega )\longrightarrow X}$ mit einem separabel abgeschlossenen Körper ${\displaystyle \Omega }$.

Sei ${\displaystyle \operatorname {FEt} _{X}}$ die Kategorie der endlichen étalen Überdeckungen von ${\displaystyle X}$, das heißt der Schemata ${\displaystyle Y}$ zusammen mit einem endlichen étalen Morphismus ${\displaystyle Y\to X}$. Die Morphismen in ${\displaystyle \operatorname {FEt} _{X}}$ sind ${\displaystyle X}$-Morphismen.^[1]

Der geometrische Basispunkt ${\displaystyle x}$ definiert den Faserfunktor ${\displaystyle F_{x}\colon \operatorname {FEt} _{X}\longrightarrow \mathbf {Sets} }$ durch ${\displaystyle F_{x}(Y)=Y\times _{X}\operatorname {Spec} (\Omega ).}$

Die étale Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X}$ bezüglich ${\displaystyle x}$ ist die Gruppe der natürlichen Automorphismen des Faserfunktors

${\displaystyle \pi _{1}^{\mathrm {{\acute {e}}t} }(X,x)=\operatorname {Aut} (F_{x}).}$^[2]

Ein Element von ${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{x})}$ besteht dabei aus einer Familie von Bijektionen der Fasern ${\displaystyle F_{x}(Y)}$, die mit allen Morphismen in ${\displaystyle \operatorname {FEt} _{X}}$ verträglich ist.

Für ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k)}$ mit einem Körper ${\displaystyle k}$ und einem separablen Abschluss ${\displaystyle k_{s}}$ erhält man

${\displaystyle \pi _{1}^{\mathrm {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} (k),\operatorname {Spec} (k_{s}))\cong \operatorname {Gal} (k_{s}/k).}$

Damit verallgemeinert die étale Fundamentalgruppe die Galoistheorie von Körpern auf Schemata.

Summarize Timeline Fact Check

Im Fall des Spektrums eines Körpers ${\displaystyle k}$ entspricht die Wahl eines Basispunktes der Wahl eines separablen Abschlusses ${\displaystyle k_{s}/k}$. Auf diese Weise kann die algebraische Fundamentalgruppe mit Basispunkt ${\displaystyle k_{s}}$ kanonisch mit der Galoisgruppe der Galoiserweiterung ${\displaystyle k_{s}/k}$ identifiziert werden. Diese Interpretation wird als Grothendiecksche Galoistheorie bezeichnet.

Der Fall eines eigentlichen Schemas ${\displaystyle X}$ endlichen Typs über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik Null lässt sich dank des Lefschetz-Prinzips auf den Fall ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ reduzieren. In diesem Fall erlaubt uns nun Serres GAGA (bzw. Riemanns Existenzsatz im Falle Riemannscher Flächen), die étale Fundamentalgruppe mit der proendlichen Komplettierung der topologischen Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ zu identifizieren.

Insbesondere ist die étalen Fundamentalgruppen der affinen Geraden über einem algebraischen abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null trivial. Entgegen der Intuition ist die Fundamentalgruppe einer affinen Geraden in positiver Charakteristik jedoch nicht trivial, da Artin-Schreier-Erweiterungen existieren.

Über die étale Fundamentalgruppe macht allgemeiner die Grothendieck-Vermutung der anabelschen Geometrie spezifische Aussagen.

Letztendlich kulminierte Grothendiecks Konzept in seiner Einführung motivischer Galoisgruppen. Die motivische Galoisgruppe der Kategorie der nulldimensionalen Motive eines Zahlkörpers ${\displaystyle k}$ ist nichts anderes als die étale Fundamentalgruppe von ${\displaystyle k}$ und lässt sich mithin mit der absoluten Galoisgruppe von ${\displaystyle k}$ identifizieren.

• Alexander Grothendieck, Michel Raynaud: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, 2003 (1971), Exposés V, IX, X.
• James Milne: Lectures on Etale Cohomology, online erhältliches Vorlesungs-Skript, insbesondere Kapitel 3.
• Jacob Murre: Lectures on an Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group, Tata Institute, 1967.
• Jean-Pierre Serre: Géométrie algébrique et géométrie analytique, NUMDAM, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 6, 1956 (GAGA).

• Temperierte Fundamentalgruppe

• Holger Brenner, Fundamentalgruppe und Vektorbündel, wikiversity