Étale Topologie

Eine Grothendieck-Topologie auf einer Kategorie legt fest, welche Familien von Morphismen als Überdeckungen der Objekte gelten. Sei ${\displaystyle \mathbf {Sch} }$ die Kategorie der Schemata und ${\displaystyle S}$ ein festes Schema. Sei ${\displaystyle \mathbf {Sch} /S}$ die Kategorie der Schemata über ${\displaystyle S}$ (ein Schema ${\displaystyle X}$ heißt Schema über ${\displaystyle S}$, wenn ein Morphismus ${\displaystyle f:X\to S}$ gegeben ist). Ein Morphismus von Schemata ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ heißt étale, wenn ${\displaystyle f}$ flach, unverzweigt und lokal von endlicher Präsentation ist. Étale Morphismen können als algebraische Gegenstücke der lokalen Homöomorphismen aus der Topologie aufgefasst werden.

Für die étale Topologie betrachtet man die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Sch} }$ oder die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Sch} /S}$. Die étale Topologie legt fest, dass die Überdeckungen durch Familien von étalen Morphismen gegeben sind, deren Bilder das jeweils überdeckte Schema überdecken. Solche Familien werden als étale Überdeckungen bezeichnet. Die étale Überdeckungen bilden eine Prätopologie und die daraus erzeugte Grothendieck-Topologie heißt Étale-Topologie. Eine Kategorie zusammen mit einer Grothendieck-Topologie nennt man Situs. Die Objekte der Kategorie spielen dabei die Rolle der offenen Mengen.

Sei ${\displaystyle T}$ ein Schema. Eine Familie von étalen Morphismen ${\displaystyle \{f_{i}:T_{i}\to T\}_{i\in I}}$ heißt étale Überdeckung von ${\displaystyle T}$, wenn

${\displaystyle T=\bigcup \limits _{i\in I}f_{i}(T_{i})}$

gilt.^[1]

Die Bilder der ${\displaystyle T_{i}}$ unter den étalen Morphismen überdecken also ${\displaystyle T}$. Ist die Indexmenge ${\displaystyle I}$ endlich, so heißt die Familie eine endliche étale Überdeckung.

Die étale Topologie auf ${\displaystyle \mathbf {Sch} }$ (oder ${\displaystyle \mathbf {Sch} /S}$) ist die Grothendieck-Topologie, deren Überdeckungen genau die étale Überdeckungen sind.^[1]

Für ein festes Schema ${\displaystyle S}$ sei ${\displaystyle \mathbf {Et} /S}$ die Unterkategorie von ${\displaystyle \mathbf {Sch} /S}$, deren Objekte die étalen Morphismen ${\displaystyle U\to S}$ sind. Sie wird mit der von der étale Topologie auf ${\displaystyle \mathbf {Sch} }$ induzierten Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ versehen. Der so entstehende Situs ${\displaystyle (\mathbf {Et} /S,{\mathcal {T}})}$ wird als étaler Situs von ${\displaystyle S}$ bezeichnet.^[1]

Der étaler Topos ${\displaystyle S_{\mathrm {et} }}$ von ${\displaystyle S}$ ist der Topos der Garben auf dem Étale-Situs ${\displaystyle (\mathbf {Et} /S,{\mathcal {T}})}$.^[1] Seine Objekte sind die Garben auf diesem Situs und seine Morphismen sind die natürlichen Transformationen zwischen den Garben.^[1]

Ist ${\displaystyle F}$ eine abelsche Garbe auf dem Étale-Situs von ${\displaystyle S}$, so bezeichnet ${\displaystyle H_{\mathrm {et} }^{i}(S,F)}$ die ${\displaystyle i}$-te Kohomologiegruppe von ${\displaystyle S}$ mit Koeffizienten in ${\displaystyle F}$. Der Funktor ${\displaystyle \Gamma (S,-)}$ der globalen Schnitte ist linksexakt. Insbesondere gilt

${\displaystyle H_{\mathrm {et} }^{0}(S,F)=\Gamma (S,F)=F(S).}$

Die höheren Kohomologiegruppen sind die abgeleiteten Funktoren des Funktors der globalen Schnitte:

${\displaystyle H_{\mathrm {et} }^{i}(S,F)=R^{i}\Gamma (S,F).}$

Damit ist die étale Kohomologie von ${\displaystyle S}$ mit Koeffizienten in ${\displaystyle F}$ die Kohomologie der abelschen Garbe ${\displaystyle F}$ im étaler Topos ${\displaystyle S_{\mathrm {et} }}$.^[2][3]