∞-Gruppoid

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus 1-Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.^[1] Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden. Eine einflussreiche Arbeit dazu ist Pursuing Stacks (deutsch Verfolgung von Stacks, Stacks ist dabei eine andere Bezeichnung für ∞-Gruppoide) von Alexander Grothendieck aus dem Jahr 1983, dessen Ziel eine einfache Modellierung von ∞-Gruppoiden und deren Anwendung in der Homotopietheorie war. Werden ∞-Kategorien durch simpliziale Mengen modelliert, dann sind ∞-Gruppoide genau Kan-Komplexe.^[2] Es gibt jedoch auch andere Modellierungen, etwa durch simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien, Segal-Räume oder Segal-Kategorien, in denen ∞-Gruppoide anders beschrieben werden.

Definition

In diesem Artikel werden ∞-Kategorie durch simpliziale Mengen modelliert. Sei $X$ eine ∞-Kategorie. Seien $x,y\in X_{0}$ jeweils $0$ -Simplizes oder $0$ -Morphismen sowie $f\in X_{1}$ ein $1$ -Simplex oder $1$ -Morphismus mit $\partial _{0}f=x$ und $\partial _{1}f=y$ , alternativ notiert als $f\colon x\rightarrow y$ . (Nach dem Lemma von Yoneda sind $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$ und $f\colon \Delta ^{1}\rightarrow X$ auch alternativ Morphismen zwischen simplizialen Mengen.) $f$ ist linksinvertierbar, wenn ein $1$ -Morphismus $g\colon y\rightarrow x$ existiert, sodass $\operatorname {id} _{x}$ eine Komposition von $f$ vor $g$ ist. $g$ ist dann ein Linksinverses. $f$ ist rechtsinvertierbar, wenn ein $1$ -Morphismus $h\colon y\rightarrow x$ existiert, sodass $\operatorname {id} _{y}$ eine Komposition von $h$ vor $f$ ist. $h$ ist dann ein Rechtsinverses. $f$ ist invertierbar oder ein Isomorphismus, wenn beides zugleich der Fall ist. Wichtig ist dabei, dass Kompositionen in ∞-Kategorien nicht eindeutig sein müssen. Kompositionen sind über kommutative Dreiecke definiert,^[3] also wenn ein Morphismus $\partial \Delta ^{1}\rightarrow X$ eine Füllung $\Delta ^{1}\rightarrow X$ hat. $(f,g,\operatorname {id} _{x})$ und $(h,f,\operatorname {id} _{x})$ müssen also solche Füllungen haben. Nerven von Kategorien haben etwa eindeutige Füllungen von Dreiecken und daher eindeutige Kompositionen.^[4] Ein ∞-Gruppoid ist nun eine ∞-Kategorie, in welcher jeder $1$ -Morphismus invertierbar ist.^[1] In der Klassifikation von $(\infty ,n)$ -Kategorien, in welchen alle $k$ -Morphismen für $k>n$ invertierbar sind, sind ∞-Kategorie dann genau die $(\infty ,1)$ -Kategorien und ∞-Gruppoide sind genau die $(\infty ,0)$ -Kategorien.

Eigenschaften

Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid.^[5] Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f\colon x\rightarrow y$ ein $1$ -Simplex zwischen $0$ -Simplizes $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$ . Für den Morphismus $\Lambda _{0}^{2}\rightarrow X$ mit $(0\rightarrow 1)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{x}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$ , wobei das Bild von $1\rightarrow 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $\Lambda _{2}^{2}\rightarrow X$ mit $(1\rightarrow 2)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{y}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$ , wobei das Bild von $0\rightarrow 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.
Eine ∞-Kategorie $X$ ist genau dann ein ∞-Gruppoid, wenn ihre Homotopiekategorie $\operatorname {Ho} (X)$ ein Gruppoid ist.^[6]
Die singuläre simpliziale Menge $\operatorname {Sing} (X)$ eines topologischen Raumes $X$ ist ein Gruppoid.^[7]