Acción de Nambu-Goto

Del mismo modo que una partícula puntual (de dimensión cero) describe una línea de universo en un diagrama espaciotemporal, una cuerda unidimensional describe una hoja de universo. Las hojas de mundo son superficies bidimensionales, así que hacen falta dos parámetros para especificar un punto en una hoja de universo. En teoría de cuerdas se utilizan los símbolos ${\displaystyle \tau }$ y ${\displaystyle \sigma }$ para estos parámetros. Las teorías de cuerdas implican un número mayor de dimensiones que el espacio tridimensional habitual; la teoría de cuerdas bósonica requiere 25 dimensiones espaciales y una temporal. Si ${\displaystyle d}$ es el número de dimensiones espaciales, podemos representar un punto por el vector

${\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).}$

Describimos una cuerda mediante funciones que llevan una posición en el espacio de parámetros ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ a un punto en espacio-tiempo. Para cada valor de ${\displaystyle \tau }$ y ${\displaystyle \sigma }$, estas funciones especifican un vector del espacio-tiempo único:

${\displaystyle X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).}$

Las funciones ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}$ determinan la forma que toma la hoja de universo. Observadores inerciales diferentes discreparan en las coordenadas que le asignarán a un punto de la hoja de universo, pero estarán de acuerdo en el área propia de la hoja de universo. La acción de Nambu–Goto se escoge para que sea proporcional al área propia total.

Sea ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ la métrica en el espaciotiempo de ${\displaystyle (d+1)}$ dimensiones. Entonces,

${\displaystyle g_{ab}=\eta _{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial y^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial y^{b}}}\ }$

es la métrica inducida en la hoja de universo, donde ${\displaystyle a,b=0,1}$ y ${\displaystyle y^{0}=\tau ,y^{1}=\sigma }$.

Para el área ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de la hoja de universo se cumple:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

donde ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau }$ y ${\displaystyle g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\ }$.

Utilizando la notación:

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}}$

y

${\displaystyle X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},}$

se puede reescribir la métrica ${\displaystyle g_{ab}}$:

${\displaystyle g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\ }$

${\displaystyle g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}}$

La acción de Nambu-Goto se define como^[1]

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ }$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}\ }$

donde ${\displaystyle X\cdot Y:=\eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }}$.

Los factores antes de las integrales dan a la acción las unidades correctas, energía multiplicada por tiempo. ${\displaystyle T_{0}}$ es la tensión de la cuerda, y ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz. Típicamente, en teoría de cuerdas se usan "unidades naturales" donde ${\displaystyle c}$ vale 1 (junto con la constante de Newton ${\displaystyle G}$ y la constante de Planck ${\displaystyle \hbar }$) También, en parte por razones históricas, se utiliza el "parámetro de pendiente" de Regge ${\displaystyle \alpha '}$ en lugar de ${\displaystyle T_{0}}$. Con estos cambios, la acción de Nambu-Goto es

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}$

Estos dos formas son, naturalmente, enteramente equivalentes. Otra forma equivalente es

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}}.}$

Típicamente, la acción de Nambu–Goto no tiene todavía la forma apropiada para estudiar la física cuántica de cuerdas. Para eso hay que modificarla de una manera similar a la acción de una partícula puntual, que debe ser reemplazada por una expresión cuadrática con el mismo valor clásico.^[2] Para cuerdas la corrección análóga es la acción de Polyakov, que es clásicamente equivalente a la acción de Nambu–Goto, pero da la teoría cuántica 'correcta'. Aun así, es posible desarrollar una teoría cuántica de la acción de Nambu–Goto en el gauge del cono de luz.

• Zwiebach, Barton, A First Course in String Theory. Cambridge University Press (2004). ISBN 978-0-521-83143-7.

• Ortin, Thomas, Gravity and Strings, Cambridge Monographs, Cambridge University Press (2004). ISBN 978-0-521-03546-0.