Analogía de Michelson y Morley

Según recuerda su hija, en el ejemplo original propuesto por Michelson a sus hijos en forma de acertijo, se planteaba un problema con dos nadadores en un río:^[2]

"Supongan que tenemos un río de ancho w (digamos, 100 metros), y dos nadadores que nadan a la misma velocidad v en metros por segundo (digamos 5 metros por segundo). El río está fluyendo a una velocidad constante, digamos a 3 metros por segundo. Los nadadores compiten en la siguiente forma: los dos parten del mismo punto en una ribera. Uno nada directamente atravesando el río hasta el punto más cercano en la ribera opuesta, después se da la vuelta y nada de regreso. El otro permanece en un solo lado del río, nadando primero a favor de la corriente una distancia (medida a lo largo de la ribera) exactamente igual al ancho del río, después nada contracorriente de regreso a su punto de partida. ¿Quién gana?"

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Para describir el comportamiento teórico de la luz en el supuesto de que fuese arrastrada por el éter, se puede analizar el comportamiento de dos barcos (o de dos nadadores, como en la analogía original) navegando por un río con una cierta corriente, comparando lo que le sucede al barco que va y viene a lo largo del río, con lo que le sucede al que lo atraviesa.^[2]

El ejemplo es análogo a lo que pasa en el interior de las ramas perpendiculares de un interferómetro: los dos barcos representarían los dos rayos de luz en movimiento (perpendiculares entre sí), la corriente se asimilaría con el desplazamiento de la Tierra, y el agua con el éter.

Para alguien que se estuviese trasladando a través de un medio elástico (como presuntamente lo era el éter), la única forma de saber si se está moviendo con respecto a él sería producir una onda (como cuando se arroja un objeto sobre el agua de un río) y observar su comportamiento: si las ondas se alejan con la misma velocidad en todas las direcciones, el observador está en reposo con respecto al medio elástico. En caso contrario, las ondas que se muevan en la misma dirección que el observador parecerán más lentas, y las que se muevan en la dirección contraria, parecerán alejarse más rápidamente. Michelson y Morley intentaron detectar este efecto valiéndose de la velocidad orbital de la Tierra, causante de un efecto conocido desde el siglo XVIII como la aberración de la luz, capaz de afectar a las observaciones astronómicas.

Para hacer más fácilmente comparables los resultados del experimento mental, se puede utilizar un ejemplo con valores numéricos sencillos. Así, se toman de forma arbitraria como datos de la analogía los valores siguientes:^[3]

• Anchura del río: ${\displaystyle OA=2\;km}$
• Distancia del punto del río aguas abajo: ${\displaystyle OB=2\;km}$
• Velocidad del río: ${\displaystyle Vr=3\;km/h}$
• Velocidad del barco: ${\displaystyle Vb=5\;km/h}$

[1] Recorrido Transversal (recorrido de ida y vuelta del barco que atraviesa el río):

En este caso, el barco recibe transversalmente la corriente de agua de 3 km/h, por lo que deberá ajustar su rumbo virando parcialmente contra ella para compensar su arrastre, y poder atravesar perpendicularmente el río.

Componiendo vectorialmente ambos movimientos con esta condición, la velocidad con la que se atraviesa el río será entonces:

${\displaystyle Vt={\sqrt {Vb^{2}-Vr^{2}}}={\sqrt {5^{2}-3^{2}}}={\sqrt {16}}=4\;km/h}$

En consecuencia, el barco invertirá en ir y venir a la orilla opuesta del río 60 minutos:

${\displaystyle Tt=(2+2)/4=1\;h=60\;min.}$

[2] Recorrido Longitudinal (recorrido del barco río abajo a la ida y río arriba a la vuelta):

En este caso, el barco es impulsado adicionalmente por la corriente de agua de 3 km/h cuando circula río abajo, y es frenado en la misma cantidad cuando remonta el río.

En consecuencia, el barco invertirá en ir río abajo y volver 75 minutos:

${\displaystyle Tl=2/(5+3)+2/(5-3)=0,25+1=1,25\;h=75\;min.}$

Como se puede apreciar, los tiempos de recorrido son distintos, y si los dos barcos partiesen a la vez, el barco que realiza el recorrido transversal volvería al punto de partida 15 minutos antes que el otro.