André Navarra era hijo de un contrabajista de ascendencia italiana.[2] Con 7 años sus padres le prepararon para el mundo de la música enseñándole escalas y solfeo antes de comenzar con el instrumento.[3] Con 9 años entró en el conservatorio de Toulouse y tuvo como maestro a Ringeisen. Con 13 años, ganó el primer premio en el conservatorio de Toulouse. En su juventud sobresale también en la natación y en el boxeo (peso medio). En 1926 entró en el Conservatorio de París, donde le enseña Jules Leopold Lœb y donde recibe a los 15 años el primer premio.[1][4][5] En 1929, con 18 años, entró a formar parte del Cuarteto Krettly-Streich, conjunto con el que permanecería durante siete años.[2]
En 1933, se incorporó a la Orquesta de la Ópera de París como violonchelo principal y toca bajo la dirección de directores de orquesta como Walther Straram, Arturo Toscanini, Bruno Walter y Wilhelm Furtwängler.[1][3][4] En 1937, recibió el primer premio en el primer concurso internacional de violonchelo en Viena. Como solista toca con las orquestas Pasdeloup y Lamoureux. Luego tomó parte en los primeros conciertos de la radio francesa y actúa en Austria, Polonia e Italia.
A partir de 1945 se dedicó a su carrera en solitario con, entre otros, conciertos en Londres, La Haya, Ginebra, Roma y Berlín. En 1949, fue designado para suceder a Pierre Fournier como profesor en el Conservatorio de París. En 1952, comenzó su curso de verano en la Academia Chigiana de Siena. En 1959 hace sus primeras grabaciones como solista y recibe dos veces el grand prix du disque. En 1965, realizó su primera gira de conciertos en los Estados Unidos con el director Charles Münch. En 1967 comienza a enseñar en la escuela superior de música de Detmold (Hochschule für Musik Detmold), donde fue nombrado profesor, y de 1968 a 1970, también imparte cursos en la Escuela Real de Música de Londres.[1][3][6] En 1969 hace su primera gira de conciertos en la Unión Soviética. De 1970 a 1973 enseña en la Academia de verano Maurice Ravel en Saint-Jean-de-Luz. Desde 1973 hasta su muerte, es profesor invitado en la Escuela superior de música y artes escénicas de Viena (Hochschule für Musik und darstellende Kunst). Navarra dio giras con gran éxito en Sudáfrica en 1965, 1969 y 1973.[7]
Estrenó muchas obras contemporáneas, de las cuales era dedicatario, como Cantilène variée de Tony Aubin (1946), Introït, récit et congé de Florent Schmitt (1951), el Concierto Nº 1 de André Jolivet (1962) o el Concierto de Antoine Tisné (1969).
Después de haber tocado largo tiempo con un Giuseppe Guarnerius de 1715, adquirió un Gagliano 1741. Pero también le gustaba tocar con instrumentos de construcción moderna, incluyendo un Bernardel, un Miremont, y un Gianotti.
André Navarra tuvo entre sus estudiantes, entre otros a Henri Alécian, Alexander Baillie, Marcel Bardon, Emmanuel Baker, Denis Brott, Marcio Carneiro, Yvan Chiffoleau, Christophe Coin, Valentin Erben, Johannes Goritzki, François Guye, Florian Kitt, Tobias Kühne, Philippe Muller, Walter Nothas, Martin Ostertag, Roland Pidoux, Christoph Richter, Friedrich Sellheim, Heinrich Schiff, Marc-Didier Thirault, Jean-Eric Thirault, Cécilia Tsan, Ricardo Sciammarella o Michael Veit.
Su grabación de las suites para violonchelo BWV 1007 a BWV 1012 de Bach publicada en Calliope en 1977, fue galardonada con el Grand Prix du disque.
