Anillo primitivo
En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos, un anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo izquierdo simple y fiel. Ejemplos bien conocidos incluyen anillos de endomorfismo de espacios vectoriales y álgebras de Weyl sobre campos de característica cero.
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En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos, un anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo izquierdo simple y fiel. Ejemplos bien conocidos incluyen anillos de endomorfismo de espacios vectoriales y álgebras de Weyl sobre campos de característica cero.
Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si tiene un módulo R izquierdo simple y fiel. Un anillo primitivo derecho se define de manera similar con módulos R derechos. Hay anillos que son primitivos, por un lado, pero no por el otro. El primer ejemplo fue construido por George M. Bergman en (Bergman, 1964). Otro ejemplo encontrado por Jategaonkar que muestra la distinción se puede encontrar en Rowen (1988, p. 159).
Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y sólo si hay un ideal izquierdo máximo que no contenga ideales bilaterales distintos de cero. La definición análoga para anillos primitivos derechos también es válida.
La estructura de los anillos primitivos izquierdos está completamente determinada por el teorema de densidad de Jacobson: Un anillo queda primitivo si y sólo si es isomorfo a un subanillo denso del anillo de endomorfismos de un espacio vectorial izquierdo sobre un anillo de división.
Otra definición equivalente establece que un anillo queda primitivo si y sólo si es un anillo primo con un módulo izquierdo fiel de longitud finita (Lam, 2001, Ej. 11.19, pág. 191).
Propiedades
Los anillos primitivos unilaterales son tanto anillos semiprimitivos como anillos primarios. Dado que el anillo producto de dos o más anillos distintos de cero no es primo, está claro que el producto de anillos primitivos nunca es primitivo.
Para un anillo artiniano izquierdo, se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y "simple" son todas equivalentes, y en este caso se trata de un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división. De manera más general, en cualquier anillo con un ideal mínimo unilateral, "primitivo izquierdo" = "primitivo derecho" = "primo".
Un anillo conmutativo se deja primitivo si y sólo si es un campo.
Quedarse primitivo es una propiedad invariante de Morita.
