Ansatz de Bethe

En el marco de la mecánica cuántica de muchos cuerpos, los modelos que se pueden resolver mediante el ansatz de Bethe se contrastan con los modelos de fermiones libres (no interactuantes). En un modelo libre, la dinámica es reducible a un cuerpo: la función de onda de muchos cuerpos para fermiones (o bosones) es el producto antisimetrizado (o simetrizado) de funciones de onda de una sola partícula. En cambio, los modelos solubles por el ansatz de Bethe son interactuantes: el sector de dos cuerpos presenta una matriz de dispersión no trivial que, en general, depende de los momentos de las partículas.^[2]

Sin embargo, la dinámica de estos modelos interactuantes es aún reducible en el sentido de que la matriz de dispersión de muchos cuerpos se factoriza como un producto de matrices de dispersión de dos cuerpos. Las colisiones múltiples ocurren como una secuencia de colisiones binarias, y la función de onda de muchos cuerpos se puede construir a partir de las funciones de onda de dos cuerpos. Esta propiedad fundamental está garantizada por la ecuación de Yang-Baxter, que asegura la consistencia del ansatz cuando más de dos partículas interactúan simultáneamente.^[3]

La forma genérica del ansatz de Bethe para una función de onda de muchos cuerpos (en una red unidimensional o en el continuo) es la siguiente. Para un sistema de ${\displaystyle M}$ partículas (o espines) con posiciones ${\displaystyle j_{1},j_{2},\dots ,j_{M}}$ (que pueden ser discretas o continuas), se propone:

$${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\dots ,j_{M})=\left(\prod _{M\geq a>b\geq 1}\operatorname {sgn} (j_{a}-j_{b})\right)\sum _{P\in {\mathcal {P}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\operatorname {sgn} (j_{a}-j_{b})\,\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right)}$$

donde:

• ${\displaystyle M}$ es el número de partículas (o número de espines invertidos).
• ${\displaystyle j_{a}}$ son las coordenadas (posiciones) de las partículas.
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{M}}$ es el conjunto de todas las permutaciones de los enteros ${\displaystyle 1,\dots ,M}$.
• ${\displaystyle k_{a}}$ es el momento (o cuasimomento) de la ${\displaystyle a}$-ésima partícula.
• ${\displaystyle \phi (k_{a},k_{b})}$ es el desplazamiento de fase de dispersión (phase shift) entre las partículas ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$.
• ${\displaystyle (-1)^{[P]}}$ es el signo de la permutación ${\displaystyle P}$ (para fermiones; para bosones se usa ${\displaystyle +1}$).
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ es la función signo, que ordena las partículas.

Esta forma es universal para una amplia clase de sistemas unidimensionales integrables (al menos para aquellos sin estructura de "anidamiento" adicional). La parametrización de los momentos y la función de desplazamiento de fase dependen del modelo específico. El principio de exclusión de Pauli se satisface automáticamente para fermiones; para bosones interactuantes, el ansatz produce un comportamiento efímero similar al fermiónico (efecto de "exclusión estadística").

Las condiciones de contorno periódicas (o de contorno abiertas, según el caso) imponen restricciones sobre los momentos ${\displaystyle k_{a}}$. Para condiciones periódicas en un anillo de longitud ${\displaystyle L}$ (o en una cadena de ${\displaystyle N}$ sitios), se obtienen las llamadas ecuaciones de Bethe, que en forma logarítmica suelen escribirse como:

$${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b\neq a}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}},\qquad a=1,\dots ,M}$$

donde ${\displaystyle \lambda _{a}}$ son las llamadas rapideces (una reparametrización de los momentos), ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )=2\arctan(2\lambda /n)}$ (u otras funciones según el modelo), y ${\displaystyle I_{a}}$ son números enteros (o semienteros) que caracterizan el estado cuántico. Para el modelo de Heisenberg antiferromagnético, por ejemplo, la relación entre momento y rapidez es ${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan(2\lambda )}$.^[4]

El ansatz de Bethe posee varias propiedades notables que lo convierten en una herramienta tan poderosa:

El modelo de Heisenberg para una cadena unidimensional de espines ${\displaystyle 1/2}$ con interacción antiferromagnética de vecinos próximos está definido por el hamiltoniano (asumiendo condiciones de contorno periódicas):

$${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j},}$$

donde ${\displaystyle J>0}$ para el caso antiferromagnético, ${\displaystyle \mathbf {S} _{j}=(\sigma _{j}^{x},\sigma _{j}^{y},\sigma _{j}^{z})/2}$ son operadores de espín, y ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ son las matrices de Pauli.

La solución mediante el ansatz de Bethe procede considerando estados con un número fijo ${\displaystyle M}$ de espines invertidos (desviaciones). Para el sector de una sola desviación (${\displaystyle M=1}$), el problema es trivial (onda plana). Para ${\displaystyle M>1}$, se postula una función de onda de la forma anterior, con parámetros ${\displaystyle \lambda _{a}}$ (rapideces) que satisfacen las ecuaciones de Bethe. En este modelo, la función de desplazamiento de fase es ${\displaystyle \phi (\lambda _{a},\lambda _{b})=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$ con ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )=2\arctan(2\lambda /n)}$.

Las ecuaciones de Bethe en forma logarítmica son:

$${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b\neq a}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}},\qquad I_{a}\in \mathbb {Z} +{\frac {M+1}{2}}\ ({\text{mod }}2),}$$

donde los números cuánticos ${\displaystyle I_{a}}$ son enteros (o semienteros) que etiquetan los estados. El estado fundamental antiferromagnético corresponde a tomar ${\displaystyle M=N/2}$ (para ${\displaystyle N}$ par) y los números cuánticos ${\displaystyle I_{a}}$ como los enteros más cercanos a cero, sin repetición.

El espectro de excitaciones (la relación de dispersión de espín) fue obtenido por des Cloizeaux y Pearson en 1962,^[7] mostrando que difiere de las predicciones de la teoría de ondas de espín de Anderson^[8] (la constante prefactor es diferente).

Para modelos con grados de libertad internos (por ejemplo, el modelo de Hubbard o el modelo Kondo), el ansatz básico debe generalizarse a un esquema de "anidamiento" (nested Bethe ansatz). En este enfoque, las ecuaciones de Bethe adquieren una estructura jerárquica: se resuelve primero para un conjunto de rapideces "de espín", y luego para las rapideces "de carga". Este método fue introducido por C. N. Yang en 1967 para el gas de Bose con función delta y simetría SU(2),^[3] y posteriormente aplicado por Lieb y Wu al modelo de Hubbard en 1968.^[9]

La siguiente tabla resume algunos de los modelos más importantes resueltos mediante el ansatz de Bethe (o sus generalizaciones):

Las soluciones exactas del modelo s-d (también llamado modelo de Kondo) fueron obtenidas por P. B. Wiegmann en 1980^[10] y, de manera independiente, por N. Andrei en el mismo año.^[11] El modelo de Anderson fue resuelto por Wiegmann en 1981^[12] y por N. Kawakami y A. Okiji en 1981.^[13] Existen generalizaciones multicanal de estos dos modelos, también resolubles, estudiadas por N. Andrei y C. Destri en 1984^[14] y por C. J. Bolech y N. Andrei en 2002.^[15]

A continuación se presenta una cronología con los desarrollos más significativos:

• 1928: Werner Heisenberg propone su modelo de intercambio (ferromagnético y antiferromagnético).^[16]
• 1930: Felix Bloch propone un ansatz demasiado simplificado, que no produce el número correcto de estados.^[17]
• 1931: Hans Bethe propone el ansatz correcto y demuestra que reproduce el número correcto de autofunciones.^[4]
• 1938: Lamek Hulthén obtiene la energía del estado fundamental exacta del modelo de Heisenberg.^[18]
• 1958: Raymond Orbach extiende el método al modelo XXZ (anisotrópico).^[19]
• 1962: des Cloizeaux y Pearson calculan el espectro de excitaciones de la cadena antiferromagnética.^[7]
• 1963: Lieb y Liniger resuelven el gas de Bose con delta.^[20]
• 1964: Griffiths obtiene la curva de magnetización a T=0.^[21]
• 1966: C. N. Yang y C. P. Yang prueban rigurosamente la hipótesis de Bethe para el estado fundamental y estudian propiedades termodinámicas.^[22][23][24]
• 1967: C. N. Yang introduce el ansatz de Bethe anidado.^[3]
• 1968: Lieb y Wu resuelven el modelo de Hubbard en 1D.^[9]
• 1969: C. N. Yang y C. P. Yang desarrollan el Ansatz de Bethe Termodinámico (TBA).^[25]
• 1980: Solución del modelo Kondo (Wiegmann, Andrei).^[11]
• 1981: Solución del modelo de Anderson (Wiegmann, Kawakami-Okiji).^[12][13]
• 1982: Korepin publica la fórmula de las normas (determinante de Gaudin).^[26]

• Método de dispersión inversa cuántica
• Ecuación de Yang-Baxter
• Modelo de Heisenberg (cuántico)
• Modelo de Hubbard
• Modelo Kondo
• Integrabilidad (sistemas cuánticos)
• Cadena de espines