Aproximación para ángulos pequeños

La precisión de las aproximaciones puede verse en la Figura 1 y la Figura 2. A medida que la medida del ángulo se aproxima a cero, la diferencia entre la aproximación y la función original también se aproxima a 0.

• 
  Figura 1. Comparación de las funciones trigonométricas básicas de odd con θ. Se observa que a medida que el ángulo se acerca a 0 las aproximaciones son mejores.
• 
  Figura 2. Figura 2. Una comparación de cos θ a 1 − θ²/2. Se ve que a medida que el ángulo se aproxima a 0 la aproximación se vuelve mejor.

La sección roja de la derecha, d, es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H, y el lado adyacente, A. Como se muestra, H y A tienen casi la misma longitud, lo que significa que cos θ está cerca de 1 y θ²/2 ayuda a recortar el rojo.^[3]

$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

El tramo opuesto, O, es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s. Reuniendo datos de la geometría, s = Aθ, de la trigonometría, sen θ = O/H y tan θ = O/A, y de la imagen, O ≈ s y H ≈ A lleva a:

$${\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

Simplificando $${\displaystyle \operatorname {sen} \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Usando el Teorema del emparedado,^[4] se puede probar que

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {sen}(\theta )}{\theta }}=1,}$$ que es un replanteamiento formal de la aproximación ${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )\approx \theta }$ for small values of θ.

Una aplicación más cuidadosa del Teorema del emparedado demuestra que $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$ de lo que se deduce que ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$ for small values of θ.

Finalmente, la regla de L'Hôpital nos dice que $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\operatorname {sen}(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$ que se reordena a ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ para pequeños valores de θ. ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\operatorname {sen} ^{2}A}$. Dejando que ${\displaystyle \theta =2A}$, se tiene que ${\textstyle \cos \theta =1-2\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

La expansión de Maclaurin (la expansión de Taylor en torno a 0) de la función trigonométrica correspondiente es^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$ donde θ es el ángulo en radianes. En términos más claros, $${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$ Se ve fácilmente que el segundo término más significativo (de tercer orden) cae como el cubo del primer término; así, incluso para un argumento no tan pequeño como 0,01, el valor del segundo término más significativo es del orden de 0,000001, o 1/10000 el primer término. Por lo tanto, se puede aproximar con seguridad:

$${\displaystyle \operatorname {sen} \theta \approx \theta }$$ Por extensión, ya que el coseno de un ángulo pequeño es casi 1, y la tangente viene dada por el seno dividido por el coseno, $${\displaystyle \tan \theta \approx \operatorname {sen} \theta \approx \theta ,}$$

La figura 3 muestra los errores relativos de las aproximaciones de ángulos pequeños. Los ángulos en los que el error relativo supera el 1% son los siguientes:

• cos θ ≈ 1 es aproximadamente 0.1408 radianes (8.07°)
• tan θ ≈ θ es aproximadamente 0.1730 radianes (9.91°)
• sen θ ≈ θ es aproximadamente 0.2441 radianes (13.99°)
• cos θ ≈ 1 − θ²/2 es aproximadamente 0.6620 radianes (37.93°)