Automorfismo interno

Si G es un grupo y g es un elemento de G (alternativamente, si G es un anillo y g es una unidad), la función

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}$

se llama conjugación por g. Esta función es un endomorfismo de G: para todo ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}$

${\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

donde la segunda igualdad es dada por la inserción del elemento neutro entre ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}.}$ Además, tiene una función inversa por la izquierda y por la derecha, a la que podemos llamar ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$ Por tanto, ${\displaystyle \varphi _{g}}$ es biyectiva, así como un isomorfismo de G en sí mismo; es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación.^[1]