Axioma del infinito

El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del conjunto inductivo:

Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al conjunto vacío, y al «sucesor» x ∪ {x} de cada uno de sus elementos x. De este modo se asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción conjuntista habitual:

El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como ZF−AI—.^[1] Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel.

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 18 de octubre de 2010 ..
• Kunen, Kenneth (1980). «IV. Easy consistency proofs». Set Theory: an introduction to independence proofs (en inglés). Elsevier Science. ISBN 0-444-86839-9.