Base de Gröbner

Dado un anillo de polinomios ${\displaystyle \mathbb {K} [X]=\mathbb {K} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ y fijado un orden admisible '${\displaystyle \leq }$' (esto es, un buen orden en el conjunto de los monomios mónicos que respeta productos), una base de Gröbner para un ideal ${\displaystyle I\leq \mathbb {K} [X]}$ con respecto del orden monomial ${\displaystyle \leq }$ es un conjunto finito ${\displaystyle G=\{g_{1},\dots ,g_{s}\}\subseteq \mathbb {K} [X]}$ que genera el ideal ${\displaystyle I}$ de tal manera que:

para todo ${\displaystyle f\in I}$ con monomio líder ${\displaystyle X^{\alpha }}$ existe ${\displaystyle g_{i}\in G}$ con monomio líder ${\displaystyle X^{\beta }}$ divisor de ${\displaystyle X^{\alpha }.}$^[3]

La última condición equivale a que ${\displaystyle \alpha =\beta +\gamma }$ para cierto ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {N} ^{n};}$ el orden monomial se usa para decidir cuál es el monomio líder.

Para cualquier elección de anillo de polinomios y orden monomial, y para cualquier subconjunto finito de polinomios, siempre se puede calcular una base de Gröbner para el ideal que genera dicho conjunto mediante el algoritmo de Buchberger. Nótese que, con esta definición, todo conjunto de polinomios que contenga a ${\displaystyle G}$ y esté contenido en ${\displaystyle I}$ es también una base de Gröbner. Para que exista unicidad se usan bases especiales llamadas bases de Gröbner reducidas. Como cualesquiera dos bases reducidas para un ideal —con un orden monoial fijo— son iguales, esto da un algoritmo efectivo para determinar si dos conjuntos finitos de polinomios generan el mismo ideal (es decir, si dos sistemas de ecuaciones algebraicas son equivalentes).