Base holonómica

En matemáticas y física matemática, una base coordenada o base holonómica para una variedad diferenciable ${\displaystyle M}$, es un conjunto de bases de campos vectoriales ${\displaystyle \{e_{a}\}}$ definido en cada punto ${\displaystyle P}$ de una región de la variedad como

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

donde ${\displaystyle s}$ es el vector de desplazamiento infinitesimal entre el punto ${\displaystyle P}$ y un punto cercano ${\displaystyle Q}$ cuya separación de coordenadas desde ${\displaystyle P}$ es ${\displaystyle \delta x^{a}}$ a lo largo de la curva de coordenadas ${\displaystyle x^{a}}$ (ej. la curva en la variedad a través de ${\displaystyle P}$ para la cual la coordenada ${\displaystyle x^{a}}$ varía pero todas las demás coordenadas son constantes.^[1]

Es posible hacer una asociación entre tal base y operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada ${\displaystyle C}$ en la variedad definida por ${\displaystyle x^{a}(\lambda )}$ con el vector tangente ${\displaystyle u=u^{a}e_{a}}$, donde ${\displaystyle u^{a}={\tfrac {dx^{a}}{d\lambda }}}$, y una función ${\displaystyle f(x^{a})}$ definida en un entorno de ${\displaystyle C}$, la variación de ${\displaystyle f}$ a lo largo de ${\displaystyle C}$ puede ser escrita como

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}.}$

Ya que tenemos que ${\displaystyle u=u^{a}e_{a}}$, la identificación es comúnmente hecha entre un vector de base de coordenadas ${\displaystyle e_{a}}$ y el operador diferencial parcial ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x^{a}}}}$, bajo la interpretación de las relaciones de todos los vectores como iguales entre operadores actuando en cantidades escalares.^[2]

Una condición local para que una base ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ sea holonómica es que (con esta interpretación) todas las derivadas de Lie mutuas, desaparezcan:^[3]

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]=0.}$

Una base que no es holonómica, se le llama base no holonómica o base no coordenada.

Es generalmente imposible encontrar una base holonómica que también sea ortogonal en cada región abierta ${\displaystyle U}$ de una variedad ${\displaystyle M}$, con una obvia excepción del espacio coordenado real ${\displaystyle R^{n}}$, considerado como una variedad con la métrica euclidiana ${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ en cada punto.^[4]