Breather

La ecuación de sine-Gordon es la ecuación en derivadas parciales:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\sin u=0,}$

donde u es una función de x y t: ${\displaystyle u=u(x,t)}$

Utilizando el método de la transformada espectral inversa (IST) se alcanza la solución:

${\displaystyle u=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right),}$

que para ω < 1 corresponde a un breather.^[1]

En paralelismo a la ecuación de Schrödinger en una dimensión:

${\displaystyle i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu=0,}$

La ecuación no lineal de Schrödinger es la ecuación en derivadas parciales:

${\displaystyle i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+|u|^{2}u=0,}$

donde u es una función de x y t: ${\displaystyle u=u(x,t)}$

Por ejemplo, la solución:

${\displaystyle u=\left({\frac {2\,b^{2}\cosh(\theta )+2\,i\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;\sinh(\theta )}{2\,\cosh(\theta )-{\sqrt {2}}\,{\sqrt {2-b^{2}}}\cos(a\,b\,x)}}-1\right)\;a\;\exp(i\,a^{2}\,t)\quad {\text{donde}}\quad \theta =a^{2}\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;t,}$

para ${\displaystyle b<{\sqrt {2}}}$, corresponde a breathers periódicos en x.^[2] Este resultado es generalizable a más dimensiones.^[6]

• Solitón