Carga (física)

En el formalismo de las teorías de partículas, los números cuánticos de carga a veces se pueden invertir por medio de un operador de conjugación de carga llamado C. La conjugación de carga significa que un grupo de simetría dado ocurre en dos representaciones de grupo no equivalentes (pero aún isomórficas) ). Suele darse el caso de que las dos representaciones conjugadas de carga sean representaciones fundamentales conjugadas complejas del grupo de Lie. Su producto entonces forma la representación adjunta del grupo.

Por tanto, un ejemplo común es que el producto de dos representaciones fundamentales de carga conjugada de SL (2, C) (los espinores ) forma la representación adjunta del grupo de Lorentz SO (3,1); abstractamente sería

${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1.\ }$

Es decir, el producto de dos espinores (Lorentz) es un vector (Lorentz) y un escalar (Lorentz). Tenga en cuenta que el álgebra de Lie compleja sl(2, C) tiene una forma real compacta su (2) (de hecho, todas las álgebras de Lie tienen una forma real compacta única). La misma descomposición se aplica también a la forma compacta: el producto de dos espinores en su (2) es un vector en el grupo de rotación O (3) y un singlete. La descomposición viene dada por los coeficientes de Clebsch-Gordan .

Un fenómeno similar ocurre en el grupo compacto SU (3), donde hay dos representaciones fundamentales conjugadas pero desiguales de carga, denominadas ${\displaystyle 3}$ y ${\displaystyle {\overline {3}}}$, el número 3 denota la dimensión de la representación, y con los quarks transformándose bajo ${\displaystyle 3}$ y los antiquarks transformándose bajo ${\displaystyle {\overline {3}}}$ . El producto Kronecker de los dos da

${\displaystyle 3\otimes {\overline {3}}=8\oplus 1.\ }$

Es decir, una representación de ocho dimensiones, el octeto de la vía óctuple y un singlete . La descomposición de tales productos de representaciones en sumas directas de representaciones irreductibles puede, en general, escribirse como

${\displaystyle \Lambda \otimes \Lambda '=\bigoplus _{i}{\mathcal {L}}_{i}\Lambda _{i}}$

para representaciones ${\displaystyle \Lambda }$ . Las dimensiones de las representaciones obedecen a la "regla de suma de dimensiones":

${\displaystyle d_{\Lambda }\cdot d_{\Lambda '}=\sum _{i}{\mathcal {L}}_{i}d_{\Lambda _{i}}.}$

Aquí, ${\displaystyle d_{\Lambda }}$ es la dimensión de la representación ${\displaystyle \Lambda }$ y los enteros ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ siendo los coeficientes de Littlewood-Richardson . La descomposición de las representaciones viene dada nuevamente por los coeficientes de Clebsch-Gordan, esta vez en el entorno general de álgebra de Lie.

• Operador de casimir

1. ↑ Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X .