Categoría coma

La construcción más general de una categoría coma utiliza dos funtores con el mismo codominio. Normalmente, uno de ellos tendrá dominio 1 (la categoría de un objeto con un solo morfismo) y en la teoría suele considerarse solo este caso, pero el término categoría coma hace referencia a la construcción general.

Supongamos que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ son categorías, y ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle T}$ (en referencia a source y target) son funtores de la forma ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\overset {S}{\longrightarrow }}\;{\mathcal {C}}\;{\overset {T}{\longleftarrow }}{\mathcal {B}}}$. Definimos entonces la categoría coma, ${\displaystyle (S\downarrow T)}$, como aquella que tiene:

• como objetos, todas las tuplas ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$, donde ${\displaystyle \alpha }$ es un objeto de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \beta }$ es un objeto de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y ${\displaystyle f:S(\alpha )\rightarrow T(\beta )}$ es un morfismo de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
• como morfismos de ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ a ${\displaystyle (\alpha ',\beta ',f')}$, los pares ${\displaystyle (g,h)}$ donde ${\displaystyle g:\alpha \rightarrow \alpha '}$ y ${\displaystyle h:\beta \rightarrow \beta '}$ son morfismos de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ respectivamente, tales que el siguiente diagrama conmute:

Los morfismos se componen definiendo ${\displaystyle (g,h)\circ (g',h')}$ como ${\displaystyle (g\circ g',h\circ h')}$ en aquellos casos en los que la expresión esté bien definida. El morfismo identidad en un objeto ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ será ${\displaystyle (\mathrm {id} _{\alpha },\mathrm {id} _{\beta })}$.