Circunferencias de Soddy de un triángulo

Sean ${\displaystyle A,B,C}$ los tres vértices de un triángulo, ${\displaystyle a,b,c}$ las longitudes de los lados opuestos y ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ el semiperímetro del triángulo. Entonces, las tres circunferencias centradas en ${\displaystyle A,B,C}$ tienen radios ${\displaystyle s-a,s-b,s-c}$, respectivamente.

Por el teorema de las circunferencias de Descartes, dos circunferencias más, denominadas circunferencias de Soddy, son tangentes a estas tres circunferencias. Los centros de estas dos circunferencias tangentes son los centros de Soddy del triángulo.

Cada una de las tres circunferencias centradas en los vértices corta dos lados del triángulo en ángulo recto, en uno de los tres puntos de contacto del triángulo, donde su circunferencia inscrita es tangente al lado. Las dos circunferencias tangentes a estas tres circunferencias, una interior y otra exterior, están separadas por la circunferencia inscrita. Los centros de Soddy se encuentran en las intersecciones comunes de tres hipérbolas, cada una con dos vértices del triángulo como focos y que pasan por el tercer vértice.^[1][2][3]

El centro interior de Soddy es un punto de igual desvío: la cadena poligonal que conecta dos vértices cualesquiera de un triángulo a través del punto interior de Soddy es más largo que el segmento que conecta directamente esos vértices, en una longitud que no depende de cuáles de los dos vértices se elijan.^[4] Según el teorema de Descartes, la curvatura de la circunferencia interior de Soddy es ${\textstyle (4R+r+2s)/\Delta }$, donde ${\displaystyle \Delta }$ es el área del triángulo, ${\displaystyle R}$ es su circunradio y ${\displaystyle r}$ es su inradio. La circunferencia exterior de Soddy tiene una curvatura de ${\textstyle (4R+r-2s)/\Delta }$.^[5] Cuando esta curvatura es positiva, el centro exterior de Soddy es otro punto de igual desvío, porque de lo contrario, el punto de igual desvío es único.^[4] Cuando la circunferencia exterior de Soddy tiene una curvatura negativa, su centro es el punto isoperimétrico del triángulo: los tres triángulos formados por este centro y dos vértices del triángulo inicial tienen el mismo perímetro.^[4] Los triángulos cuya circunferencia exterior de Soddy degenera en una línea recta con curvatura cero se denominan triángulos soddyianos.^[5] Esto ocurre cuando ${\textstyle 4R+r=2s}$ y hace que la curvatura de la circunferencia interior de Soddy sea ${\textstyle 4/r}$.

Además de los tres circunferencias tangentes externamente formadas a partir de un triángulo, tres ternas más de circunferencias tangentes también tienen sus centros en los vértices del triángulo, pero una de las circunferencias rodea a las otras dos. Sus ternas de radios son ${\displaystyle (-s,s-c,s-b),}$ ${\displaystyle (s-c,-s,s-a),}$ o ${\displaystyle (s-b,s-a,-s)}$, donde un radio negativo indica que la circunferencia es tangente a las otras dos en su interior. Sus puntos de tangencia se encuentran en las rectas que pasan por los lados del triángulo, y cada terna de círculos tiene tangencias en los puntos donde una de las tres excircunferencias es tangente a estas rectas. Los pares de circunferencias tangentes a estas tres ternas de circunferencias se comportan de forma análoga al par de circunferencias interior y exterior, y a veces también se denominan circunferencias de Soddy.^[6] En lugar de encontrarse en la intersección de las tres hipérbolas, los centros de estas circunferencias se encuentran donde la rama opuesta de una hipérbola, con focos en los dos vértices y que pasa por la tercera, interseca las dos elipses, con focos en otros pares de vértices y que pasan por la tercera.^[1]