Cis (matemáticas)

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elementos de los cuaterniones (1866)^[9] y posteriormente fue utilizada por Irving Stringham en trabajos como Álgebra uniplanar (1893),^[10][11] o por James Harkness y Frank Morley en su Introducción a la teoría de funciones analíticas (1898).^[11][12] Conecta las funciones trigonométricas con la función exponencial en el plano complejo a través de fórmula de Euler.

Se utiliza principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones,^[9][10][3] por ejemplo, junto con las transformadas de Fourier y de Hartley,^[2][6][7] o cuando las funciones exponenciales no deben usarse todavía por algún motivo en la educación matemática.

En tecnología de la información, la función posee un soporte dedicado en varias bibliotecas matemáticas de alto rendimiento (como la Math Kernel Library (MKL)^[13] de Intel), disponible para muchos compiladores de lenguajes de programación (incluidos C, C++,^[14] Common Lisp,^[15][16] D,^[17] Fortran,^[18] Haskell,^[19] y Julia^[20]), y sistemas operativos (incluidos Microsoft Windows, Linux,^[18] macOS y HP-UX^[21]). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente.^[17][22]

Summarize Timeline Fact Check

La función exponencial puede ser expresada como^[1]

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen}(x),}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\operatorname {sen}(-x)=\cos(x)-i\operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

${\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

donde i² = −1.

Esto también se puede expresar utilizando la siguiente notación

${\displaystyle \operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\operatorname {sen}(x),}$^[1][4][22]

es decir, "cis" abrevia "cos + i sen".

Aunque a primera vista esta notación es redundante, siendo equivalente a e^ix, su uso se basa en varias ventajas, como estar directamente vinculada a la forma polar de un número complejo (y ser más fácil de comprender).

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}$^[1][23]

${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}$^[1]

Estas propiedades se deducen directamente de la fórmula de Euler.

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}$^[24]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}$

Las identidades anteriores se mantienen si x e y son números complejos. Si x e y son reales, entonces^[24]

${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.}$