Era hijo natural de Clementine Krauss, bailarina de la Opera Imperial y luego fue actriz y cantante, a su vez sobrina de la famosa soprano Gabrielle Krauss (1842-1904). Su padre fue Hector Baltazzi (1851-1916), miembro de una familia de banqueros fanariotas y emparentado con María Vetsera.
Formó parte del coro de Niños Cantores de Viena, estudió en el Conservatorio de Viena y se desempeñó como maestro del coro en el teatro de Brno en 1913, donde debutó como director de orquesta. Se desempeñó en los teatros de Riga (1913–1914), Núremberg (1915–1916), Stettin (1916–1921) y Graz (1921). En 1922 se convirtió en asistente del director Franz Schalk en Viena, hasta que fue nombrado director de la ópera de Fráncfort del Meno entre 1924-29.
Alumno del compositor y director de orquesta alemán Richard Strauss, dirigió el estreno de sus últimas óperas (El amor de Dánae, Friedenstag) y escribió el libreto de Capriccio, que estrenó en 1942 con Viorica Ursuleac y Hans Hotter en Múnich. Ursuleac, esposa de Krauss, está considerada una de las mejores intérpretes de su tiempo de la Mariscala (personaje de El caballero de la rosa de Richard Strauss).
En 1944 retornó a Viena y dirigió el último concierto antes de la entrada de las fuerzas rusas.
Fue investigado por asociación con el nazismo -era íntimo amigo de Joseph Goebbels- y finalmente exonerado de culpas en 1947. Durante el juicio salió a la luz que había ayudado a dos hermanas inglesas, la escritora Ida Cook y Louise Cook, a sacar judíos de Alemania entre los años 1935 y 1939. Estos hechos quedaron registrados en las memorias de Ida "The bravest voices". Las hermanas Cook serían declaradas Justas entre las naciones.
Realizó giras por Europa, Sur y Norteamérica. En 1948 dirigió en el Teatro Colón de Buenos Aires la ópera de Arthur Honegger, Juana de Arco en la hoguera.
Krauss regresó a Viena en distintas ocasiones para dirigir el Concierto de Año Nuevo en el Musikverein.
En 1953 dirigió El anillo del nibelungo en el Festival de Bayreuth, para el que contó con cantantes de la talla de Hans Hotter, Astrid Varnay, Regina Resnik, Hermann Uhde y Wolfgang Windgassen, del que se conserva una grabación discográfica muy prestigiosa. También es muy apreciada su versión de Parsifal del mismo año, con Martha Mödl, Ramón Vinay y George London.
Se conserva la grabación del último concierto que dio en vida, en el Palacio de Bellas Artes el 14 de mayo de 1954. Dirigió a la Orquesta Sinfónica Nacional de México y tocó la Obertura Leonora n.º 2 de Beethoven y el Concierto para piano n.º 2 de Brahms, con Angélica Morales como solista. La grabación fue recuperada por la Fonoteca Nacional de México.
En noviembre de 2025 se publica la novela "El último concierto de Viena" de Martín Llade (Ediciones B) sobre Clemens Krauss y su colaboración con las hermanas Cook para salvar judíos del Holocausto, todo ello con el telón de fondo de la fundación del Concierto de Año Nuevo de la Filarmónica de Viena.
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