Coeficiente de diferencias finitas

De manera análoga al método de diferencias finitas centrales, es posible escribir la aproximación de la enésima derivada por el método de diferencias finitas hacia adelante como

${\displaystyle \displaystyle f^{(n)}\left(x_{0}\right)\approx \displaystyle {\frac {\sum _{i=0}^{m+n-1}{a_{i}^{(n,m)}f\left(x_{0}+ih_{x}\right)}}{h_{x}^{n}}}+O\left(h_{x}^{m}\right)}$

donde ${\displaystyle a_{i}^{(n,m)}}$ son los coeficientes correspondientes para este método. Algunos de estos se muestran en la siguiente tabla :^[1]

Orden de la derivada	Orden de precisión	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Por ejemplo, por el método de diferencias finitas hacia delante las derivadas primera y segunda con una precisión de tercer y segundo orden, respectivamente, son

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{0}+h_{x})-{\frac {3}{2}}f(x_{0}+2h_{x})+{\frac {1}{3}}f(x_{0}+3h_{x})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{0}+h_{x})+4f(x_{0}+2h_{x})-f(x_{0}+3h_{x})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)}$

Mientras que las mismas aproximaciones obtenidas por el método de diferencias finitas hacia atrás están dadas por

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{0}-h_{x})+{\frac {3}{2}}f(x_{0}-2h_{x})-{\frac {1}{3}}f(x_{0}-3h_{x})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-2f(x_{0})+5f(x_{0}-h_{x})-4f(x_{0}-2h_{x})+f(x_{0}-3h_{x})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)}$

En general, conseguir los coeficientes de la aproximación hacia atrás es muy simple. Para las derivadas de orden par (${\displaystyle n}$ = 2, 4, 6...) son los mismos que para la aproximación hacia delante. Por otro lado, para las derivadas de orden impar (${\displaystyle n}$ = 1, 3, 5...) basta con cambiar el signo de los coeficientes listados en la tabla anterior.

La tabla siguiente ilustra esto de manera resumida:

Orden de la derivada	Orden de precisión	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

• Método de diferencia finita
• Diferencia finita
• Sténcil de cinco puntos