Complemento ortogonal

Fijamos un subespacio vectorial ${\displaystyle F\subseteq E}$ arbitrario. Vamos a ver que ${\displaystyle F^{\bot }}$ es un subespacio vectorial.

Es no vacío, pues por definición de producto escalar,

${\displaystyle \langle 0,u\rangle =0\ \ \forall u\in E\Rightarrow 0\in \{u\in E:\langle u,v\rangle =0\ \ \forall v\in F\}\Rightarrow 0\in F^{\bot }.}$

Veamos que es cerrado para la suma. Sean ${\displaystyle u,v\in F^{\bot }}$. Queremos ver que ${\displaystyle u+v\in T^{\bot }}$ o lo que es lo mismo, que ${\displaystyle \langle u+v,w\rangle =0\ \ \forall w\in F}$. Pero por bilinealidad del producto escalar,

${\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle =0+0=0\ \ \forall w\in F,}$

pues ${\displaystyle u{\text{y}}v}$ son de ${\displaystyle F}$. Por tanto, ${\displaystyle u+v\in F^{\bot }}$

Queda ver que es cerrado para el producto por escalar. Sean ${\displaystyle u\in F^{\bot }}$ y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$. Como antes, vamos a ver que ${\displaystyle \langle \lambda u,w\rangle =0\ \ \forall w\in F}$.

Pero por bilinealidad del producto escalar,

${\displaystyle \langle \lambda u,w\rangle =\lambda \langle u,w\rangle =\lambda \cdot 0=0\ \ \forall w\in F,}$

pues ${\displaystyle u\in F^{\bot }}$. Por tanto, ${\displaystyle F^{\bot }}$ también es cerrado para el producto por escalar y es, pues, un subespacio vectorial. ${\displaystyle \quad \square }$

${\displaystyle \{u_{1},...,u_{r}\}}$

${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=[u_{1},...,u_{r}]}$

${\displaystyle F}$

${\displaystyle u_{1},...,u_{r}}$

Por el teorema de intercambio de Steinitz, podemos completarla para formar una base de ${\displaystyle E}$: ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{r},u_{r+1},...,u_{n}\}}$ (suponiendo que la dimensión de ${\displaystyle E}$ es ${\displaystyle n}$.

Ahora podemos aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base para obtener una ortonormal: ${\displaystyle \{w_{1},...,w_{r},w_{r+1},...,w_{n}\}}$. Por construcción, ${\displaystyle [w_{1},...,w_{r}]=[u_{1},...,u_{r}]=F}$.

Por tanto, como los vectores de esta base son ortogonales dos a dos por ser una base ortonormal, tenemos que ${\displaystyle w_{r+1},...,w_{n}\in F^{\bot }}$ y, como ${\displaystyle F^{\bot }}$ es subespacio vectorial, ${\displaystyle [w_{r+1},...,w_{n}]\subseteq F^{\bot }\Rightarrow {\text{dim}}\ F\geq n-r\quad (*)}$

Veamos que ${\displaystyle F\oplus F^{\bot }}$. Es equivalente ver que ${\displaystyle F\cap F^{\bot }=\{0_{E}\}.}$

Sea, pues, ${\displaystyle u\in F\cap F^{\bot }}$. Por tanto, ${\displaystyle u\in F}$ y ${\displaystyle u\in F^{\bot }\Rightarrow \langle u,u\rangle =0\Rightarrow u=0_{E}}$.

Por tanto, tenemos que ${\displaystyle F\oplus F^{\bot }}$, pero nos queda ver que ${\displaystyle F\oplus F^{\bot }=E}$. Pero por ${\displaystyle (*)}$,

${\displaystyle {\text{dim}}(F+F^{\bot })={\text{dim}}(F\oplus F^{\bot })={\text{dim}}\ F+{\text{dim}}\ F^{\bot }\geq r+(n-r)=n}$

Y, por otro lado, ${\displaystyle F+F^{\bot }\subseteq E}$ y ${\displaystyle {\text{dim}}\ E=n\Rightarrow {\text{dim}}(F+F^{\bot })\leq n}$. Por tanto, de las dos desigualdades obtenemos que

${\displaystyle {\text{dim}}(F+F^{\bot })=n}$ y, como ${\displaystyle {\text{dim}}\ E=n\Rightarrow F+F^{\bot }=E.}$

Por tanto, ${\displaystyle F\oplus F^{\bot }=E\quad \square }$

${\displaystyle u,v\in E}$

${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \pi _{F}(u+\lambda v)=\pi _{F}(u)+\lambda \pi _{F}(v)}$

Observamos que, por el teorema de proyección, ${\displaystyle u=\pi _{F}(u)+\pi _{F^{\bot }}(u)}$ y ${\displaystyle v=\pi _{F}(v)+\pi _{F^{\bot }}(v)}$. Por lo que

${\displaystyle u+\lambda v=\pi _{F}(u)+\pi _{F^{\bot }}(u)+\lambda (\pi _{F}(v)+\pi _{F^{\bot }}(v))=(\pi _{F}(u)+\lambda \pi _{F}(v))+(\pi _{F^{\bot }}(u)+\lambda \pi _{F^{\bot }}(v))}$, con el primer paréntesis en ${\displaystyle F}$ y el segundo en ${\displaystyle F^{\bot }}$. Por el teorema de proyección, esta descomposición es única y, por definición de ${\displaystyle \pi _{F}}$, tenemos que

${\displaystyle \pi _{F}(u+\lambda v)=\pi _{F}(u)+\lambda \pi _{F}(v)}$, como queríamos ver.

Veamos ahora las expresiones del núcleo y la imagen de ${\displaystyle \pi _{F}}$.

${\displaystyle {\text{Im}}(\pi _{F})=F}$:

${\displaystyle (\subseteq )}$ Directa por definición de ${\displaystyle \pi _{F}}$

${\displaystyle (\supseteq )}$ Sea ${\displaystyle w\in F}$ arbitrario. Podemos escribir ${\displaystyle w=w+0_{E}}$, con ${\displaystyle w\in F}$ por hipótesis y ${\displaystyle 0_{E}\in F^{\bot }}$ porque ${\displaystyle F^{\bot }}$ es subespacio vectorial. Así, por el teorema de proyección, ${\displaystyle \pi _{F}(w)=w\Rightarrow w\in {\text{Im}}(\pi _{F})}$. Como esto es cierto para cualquier ${\displaystyle w\in F}$, tenemos la inclusión que buscábamos.

${\displaystyle {\text{Ker}}(\pi _{F})=F^{\bot }}$:

${\displaystyle (\supseteq )}$ Sea ${\displaystyle w\in F^{\bot }}$. Podemos escribir, como antes, ${\displaystyle w=w+0_{E}}$, pero ahora con ${\displaystyle w\in F^{\bot }}$ por hipótesis y ${\displaystyle 0_{E}\in F}$ por ser ${\displaystyle F}$ un subespacio vectorial. Por tanto, por el teorema de proyección, ${\displaystyle \pi _{F}(w)=0_{E}\Rightarrow w\in {\text{Ker}}(\pi _{F})}$.

${\displaystyle (\subseteq )}$ Sea ${\displaystyle w\in {\text{Ker}}(\pi _{F})\Rightarrow w=\pi _{F}(w)+\pi _{F^{\bot }}(w)=0_{E}+\pi _{F^{\bot }}(w)=\pi _{F^{\bot }}(w)\in F^{\bot }}$. Como esto vale para cualquier ${\displaystyle w\in {\text{Ker}}(\pi _{F})}$, tenemos la inclusión que nos faltaba. ${\displaystyle \quad \square }$