En realidad, hay dos condiciones: las condiciones contables de la cadena "hacia arriba" y "hacia abajo". Estos no son equivalentes. La condición de cadena contable significa la condición de cadena contable hacia abajo, en otras palabras, no hay dos elementos que tengan un límite inferior común.
Esto se llama la "condición de cadena contable" en lugar del término más lógico "condición anticadena contable" por razones históricas relacionadas con ciertas cadenas de conjuntos abiertos en espacios topológicos y cadenas en álgebras booleanas completas, donde las condiciones de cadena a veces resultan ser equivalentes a las condiciones anticadena. Por ejemplo, si κ es un cardinal, entonces en un álgebra booleana completa cada anticadena tiene un tamaño menor que κ si y solo si no hay una secuencia κ descendente de elementos, por lo que las condiciones de cadena son equivalentes a las condiciones anticadena.
Los órdenes parciales y los espacios que satisfacen el CCC se utilizan en la declaración del axioma de Martin.
En la teoría del forzamiento, los órdenes parciales ccc se usan porque forzar con cualquier conjunto genérico sobre tal orden preserva cardinales y cofinalidades. Además, la propiedad ccc se conserva mediante iteraciones de soporte finitas (consulte forzamiento iterado). Para obtener más información sobre ccc en el contexto del forzamiento.
Más en general, si κ es un cardinal, entonces se dice que un poset satisface la condición de κ-cadena si cada anticadena tiene un tamaño menor que κ. La condición de cadena contable es la condición א1-cadena.
