Axioma de Martin
En teoría de conjuntos, el axioma de Martin, introducido por Donald A. Martin y Robert M. Solovay, es una afirmación que es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos ZFC. La afirmación está implícita en la hipótesis del continuo, pero es consistente con ZFC y la negación de la hipótesis del continuo. Informalmente, dice que todos los cardinales menores que la cardinalidad del continuo, c, se comportan aproximadamente como ℵ 0. La intuición detrás de este hecho se puede entender estudiando la demostración del lema de Rasiowa-Sikorski. Es un principio que se utiliza para controlar ciertos argumentos de forcing.
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En teoría de conjuntos, el axioma de Martin, introducido por Donald A. Martin y Robert M. Solovay, [1] es una afirmación que es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos ZFC. La afirmación está implícita en la hipótesis del continuo, pero es consistente con ZFC y la negación de la hipótesis del continuo. Informalmente, dice que todos los cardinales menores que la cardinalidad del continuo, , se comportan aproximadamente como . La intuición detrás de este hecho se puede entender estudiando la demostración del lema de Rasiowa-Sikorski. Es un principio que se utiliza para controlar ciertos argumentos de forcing .
Para cualquier 𝛋 cardinal, considérese la siguiente afirmación:
- MA(𝛋)
- Para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable (en adelante ccc) y cualquier familia D de subconjuntos densos de P tal que |D| ≤ κ, hay un filtro F en P tal que F ∩ d no es vacío para cada d en D.
En este caso (para la aplicación de ccc), una anticadena es un subconjunto A de P tal que dos miembros distintos de A son incompatibles (se dice que dos elementos son compatibles si existe un elemento común debajo de ambos en el orden parcial). Esto difiere, por ejemplo, de la noción de anticadena en el contexto de árboles.
MA(ℵ0) es simplemente cierto: el lema de Rasiowa-Sikorski. MA(2ℵ0) es falso: [0, 1] es un separable compacto espacio de Hausdorff, y así (P, el poset de subconjuntos abiertos bajo inclusión, es) ccc. Pero ahora considere las siguientes dos familias size-2ℵ0=c de conjuntos densos en P: no x∈ [0, 1] es aislado, por lo que cada x define el subconjunto denso {S : x∉ S}. Y cada r∈(0, 1], define el subconjunto denso {S : diam(S)<r}. Las dos familias combinadas también son de tamaño c, y un filtro que cumpla ambas debe evitar simultáneamente todos los puntos de [0, 1] mientras contiene conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño. Pero un filtro F que contenga conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño debe contener un punto en ⋂ F por compacidad.
El axioma de Martin es entonces que MA(κ) mantiene "el mayor tiempo posible":
- Axioma de Martin (MA)
- Para cada κ < c, MA(κ) se cumple.
Formas equivalentes de MA(κ)
Las siguientes afirmaciones son equivalentes a MA(κ):
- Si X es un espacio topológico compacto de Hausdorff que satisface la ccc entonces X no es la unión de κ o menos subconjuntos en ninguna parte densa.
- Si P es un ccc ascendente no vacío poset e Y es una familia de subconjuntos cofinales de P con |Y| ≤ κ entonces hay un conjunto dirigido hacia arriba A tal que A cumple con cada elemento de Y.
- Sea A un álgebra de Boole ccc no trivial y F una familia de subconjuntos de A con |F| ≤ κ. Luego hay un homomorfismo booleano φ: A → Z/2Z tal que para cada X en F hay una a en X con φ(a) = 1 o hay un límite superior b para X con φ(b) = 0.
