Condición de frontera de Dirichlet

Ecuaciones diferenciales ordinarias

En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

sobre el intervalo [0,1], las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=\alpha _{1}\,\\y(1)=\alpha _{2}\,\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$ son números dados.

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio Ω⊂ℝⁿ tal como:

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0\,}$

donde ∇² es el laplaciano, las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:

${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

donde f es una función conocida definida sobre ∂Ω.

Aplicaciones

Los siguientes ejemplos pueden considerarse como condiciones de frontera de Dirichlet:

• En ingeniería mecánica y civil (curva elástica), donde un extremo de una viga está fija en el espacio.
• En termodinámica, donde una superficie tiene una temperatura fija.
• En electrostática, donde un nodo de un circuito tiene un voltaje fijo o constante.
• En fluidodinámica, la condición de no deslizamiento para fluidos viscosos establece que en una frontera sólida, el fluido tendrá velocidad relativa nula.