Conjetura de Beal

Para ilustrar la solución, 3³ + 6³ = 3⁵ tiene sus bases con un factor común 3, y la solución 7⁶ + 7⁷ = 98³ tiene las bases con un factor común 7. De hecho, la ecuación tiene infinitas soluciones, incluyendo, por ejemplo

${\displaystyle \left[a\left(a^{n}+b^{n}\right)\right]^{n}+\left[b\left(a^{n}+b^{n}\right)\right]^{n}=\left(a^{n}+b^{n}\right)^{n+1}}$

para cualquier entero ${\displaystyle a\geq 1}$, ${\displaystyle b\geq 1}$, ${\displaystyle n\geq 3}$. Pero tal solución de la ecuación no es un contraejemplo de la conjetura, puesto que todas las bases tienen el factor ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ en común.

Otros ejemplos de reglas de formación son los siguientes:

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle (a^{n}-1)^{kn}+(a^{n}-1)^{kn+1}=[a(a^{n}-1)^{k}]^{n},\quad \quad a\geq 2,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

${\displaystyle [a(a^{kn}+b^{n})]^{kn}+[b(a^{kn}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{kn}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.}$

La condición de que los exponentes sean mayores que 2 se debe a que si uno de los exponentes es igual a 2 la conjetura es falsa. El contraejemplo 7³ + 13² = 2⁹ da muestra de ello.