Conjetura de Carathéodory
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La conjetura de Carathéodory es una cuestión de geometría diferencial relativa a puntos umbilicales, atribuida al matemático alemán de origen griego Constantin Carathéodory (1873-1950) por su colega Hans Ludwig Hamburger (1889-1956) durante una sesión de la Sociedad Matemática de Berlín en 1924.[1] Carathéodory publicó un artículo sobre un tema relacionado con la conjetura,[2] pero nunca la desarrolló por escrito. John Edensor Littlewood menciona la conjetura y la contribución de Hamburger[3][4] como un ejemplo de una afirmación matemática que es fácil de enunciar pero difícil de probar. Dirk Struik describió la analogía formal de la conjetura con el teorema de los cuatro vértices para una curva plana.[5] Las referencias modernas a la conjetura son la lista de problemas de Shing-Tung Yau,[6] y los libros de Marcel Berger.[7][8] entre otros libros.[9][10][11][12]
La conjetura ha tenido una historia problemática, con pruebas publicadas en el caso analítico[13][14] que contenían lagunas,[15] y afirmaciones de prueba en el caso diferenciable general[16] que no han sido aceptadas para su publicación.
La conjetura afirma que cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en un espacio euclídeo tridimensional debe admitir al menos dos puntos umbilicales. En el sentido de la conjetura, el esferoide con solo dos puntos umbilicales y la esfera, en la que todos sus puntos son umbilicales, son ejemplos de superficies con números mínimo y máximo de puntos umbilicales. Para que la conjetura esté bien planteada o los puntos umbilicales estén bien definidos, la superficie debe ser al menos dos veces diferenciable.
El caso de las superficies analíticas reales
El discurso de Stefan Cohn-Vossen como invitado[17] al Congreso Internacional de Matemáticos de 1928 en Bolonia, versó sobre el tema, y en la edición de 1929 del tercer volumen de Wilhelm Blaschke sobre Geometría Diferencial[18] se afirma que:
Mientras este libro se imprime, el Sr. Cohn-Vossen ha logrado demostrar que las superficies analíticas reales cerradas no tienen puntos umbilicales de índice > 2 (conferencia como invitado en el ICM en Bolonia, 1928). Esto demuestra la conjetura de Carathéodory para tales superficies, es decir, que deben tener al menos dos puntos umbilicales.
Aquí el índice de Blaschke es el doble de la definición habitual de un índice de un punto umbilical, y la conjetura global se apoya en el teorema de Poincaré-Hopf. Cohn-Vossen no presentó ningún artículo a las actas del Congreso Internacional, mientras que en ediciones posteriores del libro de Blaschke se eliminaron los comentarios anteriores. Por lo tanto, es razonable suponer que este trabajo no fue concluyente.
Para las superficies analíticas, Hans Hamburger dio una respuesta afirmativa a esta conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes.[4] El enfoque de Hamburger también se realizó a través de una estimación de índice local para puntos umbilicales aislados, que había demostrado que implicaba la conjetura en su trabajo anterior.[19][20] En 1943, Gerrit Bol propuso una prueba más corta,[13] ver también,[21] pero, en 1959, Tilla Klotz encontró y corrigió una brecha en la prueba de Bol,[14][4] Su prueba, a su vez, se anunció como incompleta en la disertación de Hanspeter Scherbel[15] y durante décadas no se publicaron resultados de esta disertación relacionada con la conjetura de Carathéodory (al menos no se publicó nada hasta junio de 2009).[22][23][24]
Todas las pruebas mencionadas anteriormente se basan en la reducción que hace Hamburger de la conjetura de Carathéodory a la siguiente conjetura: el índice de cada punto umbilical aislado nunca es mayor que uno.[19] A grandes rasgos, la principal dificultad radica en la resolución de las singularidades generadas por puntos umbilicales. Todos los autores antes mencionados resuelven las singularidades por inducción sobre el "grado de degeneración" del punto umbilical, pero ninguno de ellos fue capaz de presentar el proceso de inducción con claridad.
En 2002, Vladimir Ivanov revisó el trabajo de Hamburger sobre superficies analíticas con la siguiente intención declarada:[25]
- En primer lugar, considerando las superficies analíticas, afirmamos con toda responsabilidad que Carathéodory tenía razón. En segundo lugar, sabemos cómo esto puede demostrarse rigurosamente. En tercer lugar, pretendemos exponer aquí una prueba que, en nuestra opinión, convencerá a todo lector que esté realmente interesado y listo para emprender un largo y agotador viaje con nosotros.
Primero sigue el camino seguido por Gerrit Bol y Tilla Klotz, pero luego propone su propio camino para la resolución de singularidades donde el papel crucial pertenece al análisis complejo (más precisamente, a técnicas que involucran funciones implícitas analíticas, el teorema de preparación de Weierstrass, la serie de Puiseux y los sistemas de raíces circulares).
