Conjetura de Schanuel

La conjetura es la siguiente:

Dados ${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$ números complejos linealmente independientes sobre los números racionales ℚ, la extensión de campo ℚ${\displaystyle (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$ tiene grado de trascendencia de al menos ${\displaystyle n}$ sobre ℚ.

La conjetura puede ser encontrada en Lang (1966).^[1]

La conjetura, si resulta cierta, generalizaría resultados conocidos en teoría de números trascendentes. El caso especial donde los números ${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$ son algebraicos es el Teorema de Lindemann-Weierstrass. Si, por otro lado, los números están escogidos de manera que ${\displaystyle exp(z_{1}),...,exp(z_{n})}$ sean algebraicos entonces uno probaría que logaritmos linealmente independientes de números algebraicos son algebraicamente independientes, una versión más fuerte del teorema de Baker.

El teorema de Gelfond-Scheneider resulta de esta versión del teorema de Baker, así como la aún desconocida conjetura de los cuatro exponentes.