Conjunto cilíndrico

Dada una colección ${\displaystyle S}$ de conjuntos, consideremos el producto cartesiano ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ de todos los conjuntos de la colección. La «proyección canónica» correspondiente a algún ${\displaystyle Y\in S}$ es la función ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$ que mapea cada elemento del producto a su componente ${\displaystyle Y}$. Un conjunto cilíndrico es una preimagen de una proyección canónica o una intersección finita de tales preimágenes. Explícitamente, es un conjunto de la forma $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}}$$ para cualquier elección de ${\displaystyle n}$, secuencia finita de conjuntos ${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ y subconjuntos ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$ para ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

Entonces, cuando todos los conjuntos en ${\displaystyle S}$ son espacios topológicos, la topología producto es generada por conjuntos cilíndricos correspondientes a los conjuntos abiertos de los componentes. Es decir, cilindros de la forma ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ donde, para cada ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle U_{i}}$ es abierto en ${\displaystyle Y_{i}}$. De la misma manera, en el caso de los espacios medibles, la álgebra σ cilíndrica es la que es generada por conjuntos cilíndricos correspondientes a los conjuntos medibles de los componentes.

La restricción de que el conjunto cilíndrico sea la intersección de un número «finito» de cilindros abiertos es importante; permitir intersecciones infinitas generalmente da como resultado una topología más fina. En este último caso, la topología resultante es la topología de caja; los conjuntos cilíndricos nunca son cubos de Hilbert.

Sea ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$ un conjunto finito que contiene n objetos o letras. La colección de todas las cadenas bi-infinitas en estas letras se denota por $${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$$

La topología natural en ${\displaystyle S}$ es la topología discreta. Los conjuntos abiertos básicos en la topología discreta consisten en letras individuales; por lo tanto, los cilindros abiertos de la topología producto en ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$ son $${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$$

Las intersecciones de un número finito de cilindros abiertos son los «conjuntos cilíndricos» $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$$

Los conjuntos cilíndricos son conjuntos clopen. Como elementos de la topología, los conjuntos cilíndricos son, por definición, conjuntos abiertos. El complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado, pero el complemento de un conjunto cilíndrico es una unión de cilindros, por lo que los conjuntos cilíndricos también son cerrados y, por lo tanto, clopen.