Conjunto multibrot
En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito en las iteraciones de un miembro de la familia general de los polinomios mónicos de una variable recursivos. El nombre es una palabra catalejo formada a partir de los términos "múltiple" y "conjunto de Mandelbrot". El mismo principio se puede aplicar al conjunto de Julia para obtener el conjunto multijulia.
- z ↦ z d + c. donde "d" ≥ 2. El exponente d puede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios.
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En matemáticas, un conjunto multibrot es el conjunto de valores en el plano complejo cuyo valor absoluto permanece por debajo de algún valor finito en las iteraciones de un miembro de la familia general de los polinomios mónicos de una variable recursivos.[1][2][3] El nombre es una palabra catalejo formada a partir de los términos "múltiple" y "conjunto de Mandelbrot". El mismo principio se puede aplicar al conjunto de Julia para obtener el conjunto multijulia.
donde "d" ≥ 2. El exponente d puede generalizarse aún más a valores negativos y fraccionarios.[4]
Potencias positivas
El caso de
es el conjunto de Mandelbrot clásico del que se deriva el nombre del conjunto
Los conjuntos para otros valores de d también muestran imágenes fractales[7] cuando se trazan en el plano complejo.
Cada uno de los ejemplos de distintas potencias d que se muestran a continuación se representan en la misma escala. Los valores de c pertenecientes al conjunto re representan en color negro. Los valores de c que tienen un valor ilimitado bajo el procedimiento recursivo, y por lo tanto no pertenecen al conjunto, se trazan en diferentes colores, que se muestran como contornos, dependiendo del número de recursiones que causaron que un valor exceda una magnitud fija en el algoritmo de tiempo de escape.
El ejemplo d = 2 es el conjunto original de Mandelbrot. Los ejemplos de d > 2 a menudo se denominan "conjuntos multibrot". Estos conjuntos incluyen el origen y poseen perímetros fractales, con simetría rotacional de (d −1)-lóbulos.
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Potencias negativas
Cuando d es negativo, el conjunto rodea pero no incluye el origen. Hay un comportamiento complejo interesante en los contornos entre el conjunto y el origen, en un área en forma de estrella con simetría rotacional de (1 − d)-lóbulos. Los conjuntos parecen tener un perímetro circular, sin embargo, esto es solo un efecto del radio máximo fijo permitido por el algoritmo de tiempo de escape, y no es un límite de los conjuntos, que realmente se extienden en todas las direcciones hasta el infinito.
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Potencias fraccionarias
El aspecto de algunos conjuntos multibrot con exponente fraccionario se muestra en la imagen de la derecha.
Renderizado en el exponente
Un método alternativo es representar el exponente en el eje vertical. Esto requiere fijar el valor real o imaginario y representar el valor restante en el eje horizontal. El conjunto resultante se eleva verticalmente desde el origen en una columna estrecha hasta el infinito. La ampliación revela una complejidad creciente. La primera protuberancia o pico prominente se ve en un exponente de 2, la ubicación del conjunto tradicional de Mandelbrot en su sección transversal. La tercera imagen aquí se representa en un plano que se fija en un ángulo de 45 grados entre los ejes real e imaginario. [8]
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