Constante de Fransén–Robinson

La constante de Fransén–Robinson constant tiene el valor numérico F = 2.8077702420285... (sucesión A058655 en OEIS), y una representación en forma de fracción continua [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (sucesión A046943 en OEIS). La constante es algo cercana al número de Euler, e = 2.71828... . Este hecho se puede explicar por medio de la aproximación de la integral por una suma:

${\displaystyle F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},}$

y esta suma es la definición estándar de serie para e. La diferencia es

${\displaystyle F-e=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{\pi ^{2}+(\ln x)^{2}}}\,dx}$

o equivalentemente

${\displaystyle F=e+{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{\pi \tan \theta }e^{-e^{\pi \tan \theta }}\,d\theta .}$

La constante Fransén–Robinson puede también expresarse usando la función de Mittag-Leffler como el límite

${\displaystyle F=\lim _{\alpha \to 0}\alpha E_{\alpha ,0}(1).}$

Sin embargo se desconoce si F se puede expresar de forma cerrada en términos de otras constantes conocidas.

Se ha hecho un gran esfuerzo para calcular el valor numérico de la constante de Fransén-Robinson con gran precisión.

El valor fue calculado con 36  cifras decimales por Herman P. Robinson usando la cuaddratura de Newton–Cotes 11 puntos, con 65 dígitos por A. Fransén usando la fórmula de Euler-Maclaurin, y a 80 dígitos por Fransén y S. Wrigge usando series de Taylor y otros métodos. William A. Johnson calculó 300 dígitos, y Pascal Sebah pudo calcular 1025 dígitos usando integración de Clenshaw–Curtis.^[1]

• Fransen, Arne (1979). «Accurate determination of the inverse Gamma integral». BIT 19 (1): 137-138. MR 0530126. S2CID 122091723. doi:10.1007/BF01931232. 
• Fransen, Arne; Wrigge, Staffan (1980). «High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients». Mathematics of Computation 34 (150): 553-566. JSTOR 2006104. MR 0559204. doi:10.2307/2006104. 
• Fransen, Arne (1981). «Addendum and corrigendum to "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients"». Mathematics of Computation 37 (155): 233-235. JSTOR 2007517. MR 0616377. doi:10.2307/2007517. 
• Finch, Steve. «Fransén–Robinson Constant».  Uso incorrecto de la plantilla enlace roto (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Weisstein, Eric W. «Fransén–Robinson Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Borwein, Jonathan; Bailey, David; Girgensohn, Roland (2003). Experimentation in Mathematics – Computational Paths to Discovery. A. K. Peters. p. 288. ISBN 1-56881-136-5.