Constante de propagación

El término «constante de propagación» es algo engañoso, ya que suele variar fuertemente con ω. Es probablemente el término más utilizado, pero hay una gran variedad de nombres alternativos usados por diversos autores para esta cantidad. Estos incluyen «parámetro de transmisión», «función de transmisión», «parámetro de propagación», «coeficiente de propagación» y «constante de transmisión». Si se usa el plural, sugiere que α y β se están referenciando por separado pero colectivamente, como en «parámetros de transmisión», «parámetros de propagación», etc. En la teoría de líneas de transmisión, α y β se cuentan entre los «coeficientes secundarios», siendo el término «secundario» usado para contrastar con las constantes de línea primaria. Los coeficientes primarios son las propiedades físicas de la línea, a saber, R, C, L y G, de los cuales los coeficientes secundarios pueden derivarse usando la ecuación del telegrafista. En el ámbito de las líneas de transmisión, el término coeficiente de transmisión tiene un significado diferente a pesar de la similitud del nombre: es el compañero del coeficiente de reflexión.

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La constante de propagación, símbolo γ, para un sistema dado se define por la relación entre la amplitud compleja en la fuente de la onda y la amplitud compleja a cierta distancia x, de manera que:

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}.}$

Al invertir la ecuación anterior y aislar γ, se obtiene el cociente del logaritmo natural de la relación de amplitud compleja dividido por la distancia x recorrida:

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

Dado que la constante de propagación es una cantidad compleja, podemos escribir:

$${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }$$

donde

• α, la parte real, se llama la constante de atenuación
• β, la parte imaginaria, se llama la constante de fase
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}}$; el símbolo j es más típico en ingeniería eléctrica y electrónica.

Que β representa efectivamente la fase puede verse en la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

que es un sinusoide que varía en fase a medida que θ varía, pero no varía en amplitud porque:

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1}$

La razón para usar la base e también queda clara ahora. La constante de fase imaginaria, iβ, puede sumarse directamente a la constante de atenuación, α, para formar un solo número complejo que puede manejarse en una operación matemática, siempre que estén en la misma base. Para llegar a radianes se requiere la base e, y de manera similar, para llegar a nepers para la atenuación también se requiere la base e.

La constante de propagación para líneas conductoras puede calcularse a partir de los coeficientes primarios de la línea mediante la relación:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

donde

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L}$ es la impedancia en serie de la línea por unidad de longitud y,

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C}$ es la admitancia en paralelo de la línea por unidad de longitud.

Onda plana

El factor de propagación de una onda plana que viaja en un medio lineal en la dirección x está dado por: $${\displaystyle P=e^{-\gamma x}}$$ donde

• ${\textstyle \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \omega \varepsilon )}}}$^[1]: 126
• ${\displaystyle x}$: distancia recorrida en la dirección x
• ${\displaystyle \alpha }$: constante de atenuación (unidad SI: neper/metro)
• ${\displaystyle \beta }$: constante de fase (unidad SI: radián/metro)
• ${\displaystyle \omega }$: frecuencia angular (unidad SI: radián/segundo)
• ${\displaystyle \sigma }$: conductividad del medio
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''}$: permitividad compleja del medio
• ${\displaystyle \mu =\mu '-i\ \mu ''}$: permeabilidad compleja del medio
• ${\displaystyle i}$: la unidad imaginaria

La convención de signos se elige para consistencia con la propagación en medios con pérdidas. Si la constante de atenuación es positiva, entonces la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x.

La longitud de onda, la velocidad de fase y la profundidad de penetración tienen relaciones simples con los componentes de la constante de propagación: $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}$$

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En telecomunicaciones, el término «constante de atenuación», también llamado «parámetro de atenuación» o «coeficiente de absorción», es la atenuación de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio por unidad de distancia desde la fuente. Es la parte real de la constante de propagación y se mide usando la unidad neper por metro. Un neper es aproximadamente 8,7 dB. La constante de atenuación puede definirse por la relación de amplitudes:

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

La constante de propagación por unidad de longitud se define como el logaritmo natural de la relación entre la corriente o voltaje en el extremo emisor y la corriente o voltaje en el extremo receptor, dividido por la distancia x involucrada:

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

Líneas conductoras

La constante de atenuación para líneas conductoras puede calcularse a partir de los coeficientes primarios de la línea como se mostró anteriormente. Para una línea que cumple la condición sin distorsión, con una conductancia G en el aislante, la constante de atenuación está dada por:

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}.}$

Sin embargo, es improbable que una línea real cumpla esta condición sin la adición de bobinas de carga y, además, hay efectos dependientes de la frecuencia que operan sobre los «constantes» primarios, lo que causa una dependencia de la frecuencia en la pérdida. Hay dos componentes principales de estas pérdidas: la pérdida metálica y la pérdida dieléctrica.

La pérdida en la mayoría de las líneas de transmisión está dominada por la pérdida metálica, que causa una dependencia de la frecuencia debido a la conductividad finita de los metales y al efecto pelicular dentro de un conductor. El efecto pelicular hace que R a lo largo del conductor sea aproximadamente dependiente de la frecuencia según:

${\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}$

Las pérdidas en el dieléctrico dependen de la tangente de pérdida (tan δ) del material dividido por la longitud de onda de la señal. Por lo tanto, son directamente proporcionales a la frecuencia:

${\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}$

Fibra óptica

La constante de atenuación para un modo de propagación particular en una fibra óptica es la parte real de la constante de propagación axial.

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En teoría electromagnética, la «constante de fase», también llamada «constante de cambio de fase», «parámetro» o «coeficiente», es el componente imaginario de la constante de propagación para una onda plana. Representa el cambio en fase por unidad de longitud a lo largo del camino recorrido por la onda en cualquier instante y es igual a la parte real del número de onda angular de la onda. Se representa por el símbolo β (unidad SI: radianes por metro).

A partir de la definición de número de onda (angular) para ondas transversales electromagnéticas (TEM) en medios sin pérdidas:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

Para una línea de transmisión, las ecuaciones del telegrafista indican que el número de onda debe ser proporcional a la frecuencia para que la transmisión de la onda no se distorsione en el dominio del tiempo. Esto incluye, pero no se limita a, el caso ideal de una línea sin pérdidas. La razón de esta condición puede verse al considerar que una señal útil está compuesta por muchas longitudes de onda diferentes en el dominio de la frecuencia. Para que no haya distorsión de la forma de onda, todas estas ondas deben viajar a la misma velocidad para que lleguen al final de la línea al mismo tiempo como un grupo. Dado que la velocidad de fase de la onda está dada por:

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

se demuestra que β debe ser proporcional a ω. En términos de los coeficientes primarios de la línea, esto produce, a partir de la ecuación del telegrafista para una línea sin distorsión, la condición:

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

donde L y C son, respectivamente, la inductancia y la capacitancia por unidad de longitud de la línea. Sin embargo, las líneas prácticas solo pueden esperarse que cumplan aproximadamente esta condición en una banda de frecuencia limitada.

En particular, la constante de fase ${\displaystyle \beta }$ no siempre es equivalente al número de onda ${\displaystyle k}$. La relación:

${\displaystyle \beta =k}$

se aplica a la onda TEM, que viaja en el espacio libre o en dispositivos TEM como el cable coaxial y las líneas de transmisión de dos hilos paralelos. Sin embargo, no se aplica a la onda TE (onda eléctrica transversal) ni a la onda TM (onda magnética transversal). Por ejemplo,^[2] en una guía de ondas hueca donde la onda TEM no puede existir, pero las ondas TE y TM pueden propagarse:

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Aquí ${\displaystyle \omega _{c}}$ es la frecuencia de corte. En una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es:

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

donde ${\displaystyle m,n\geq 0}$ son los números de modo para los lados del rectángulo de longitud ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, respectivamente. Para los modos TE, ${\displaystyle m,n\geq 0}$ (pero ${\displaystyle m=n=0}$ no está permitido), mientras que para los modos TM ${\displaystyle m,n\geq 1}$.

La velocidad de fase es igual a:

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

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El término constante de propagación o función de propagación se aplica a filtros electrónicos y otras redes de dos puertos utilizadas para el procesamiento de señales. En estos casos, sin embargo, los coeficientes de atenuación y fase se expresan en términos de nepers y radianes por sección de red en lugar de por unidad de longitud. Algunos autores^[3] hacen una distinción entre medidas por unidad de longitud (para las cuales se usa «constante») y medidas por sección (para las cuales se usa «función»).

La constante de propagación es un concepto útil en el diseño de filtros, que invariablemente utiliza una topología en cascada. En una topología en cascada, la constante de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase de secciones individuales pueden simplemente sumarse para encontrar la constante de propagación total, etc.

Redes en cascada

La relación de voltaje de salida a entrada para cada red está dada por:^[4]

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

Los términos ${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$ son términos de escalado de impedancia^[5] y su uso se explica en el artículo de impedancia de imagen.

La relación de voltaje total está dada por:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

Por lo tanto, para n secciones en cascada, todas con impedancias coincidentes enfrentadas entre sí, la constante de propagación total está dada por:

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

El concepto de profundidad de penetración es una de las muchas formas de describir la absorción de ondas electromagnéticas. Para otras formas y sus interrelaciones, véase el artículo «Descripciones matemáticas de la opacidad».

• Velocidad de fase