Conversión de coordenadas geográficas

De manera informal, especificar una ubicación geográfica generalmente significa proporcionar la latitud y la longitud de la ubicación. Los valores numéricos de latitud y longitud pueden aparecer en varias unidades o formatos diferentes:^[2]

• Grados sexagesimales: grados, minutos y segundos: 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ E
• Grados y minutos decimales: 40° 26.767' N 79° 58.933' E
• Grados decimales: +40.446 -79.982

Hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Por lo tanto, para convertir de un formato de grados minutos segundos a un formato de grados decimales, se puede utilizar la fórmula

${\displaystyle {\rm {{grados\ decimales}={\rm {{grados}+{\frac {\rm {minutos}}{60}}+{\frac {\rm {segundos}}{3600}}}}}}}$.

Para volver a convertir del formato de grados decimales al formato de grados, minutos y segundos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {GradosAbs}}&=|{\rm {{grados\ decimales}|}}\\{\rm {EnteroGradosAbs}}&=\lfloor {\rm {{GradosAbs}\rfloor }}\\{\rm {grados}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{grados\ decimales})\times {\rm {EnteroGradosAbs}}}}\\{\rm {minutos}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{GradosAbs}-{\rm {{EnteroGradosAbs})\rfloor }}}}\\{\rm {segundos}}&=3600\times ({\rm {{GradosAbs}-{\rm {{EnteroGradosAbs})-60\times {\rm {minutos}}}}}}\\\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle {\rm {GradosAbs}}}$ y ${\displaystyle {\rm {EnteroGradosAbs}}}$ son solo variables temporales para manejar valores positivos y negativos de manera adecuada.

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La conversión entre sistemas de coordenadas es el paso de un sistema de coordenadas a otro, en el que ambos se basan en el mismo datum geodésico. Las tareas de conversión más comunes incluyen la conversión entre coordenadas geodésicas y coordenadas centradas en la Tierra y fijas en la Tierra (coordenadas geocéntricas) y la conversión de un tipo de proyección de mapa a otro.

Las coordenadas geodésicas (latitud ${\displaystyle \ \phi }$, longitud ${\displaystyle \ \lambda }$, altura ${\displaystyle h}$) se pueden convertir en coordenadas geocéntricas utilizando la siguiente ecuación:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

donde

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},}$

y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son el radio ecuatorial (el semieje mayor) y el radio polar (el semieje menor), respectivamente. ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ es el cuadrado de la primera excentricidad numérica del elipsoide. ${\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}$ es el aplanamiento del elipsoide. El radio terrestre ${\displaystyle \,N(\phi )}$ es la distancia desde la superficie hasta el eje Z en la normal del elipsoide.

La siguiente condición se cumple para la longitud de la misma manera que en el sistema de coordenadas geocéntricas:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

Y lo siguiente se cumple para la latitud:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

donde ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, así como el parámetro ${\displaystyle h}$ se elimina restando

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

y

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Además, se cumple lo siguiente, derivado de dividir las ecuaciones anteriores:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.}$

La ortogonalidad de las coordenadas se confirma mediante diferenciación:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}$

(véase también arco meridiano sobre el elipsoide).

La conversión de coordenadas geocéntricas (ECEF; del inglés "Earth-Centered Earth-Fixed"; un sistema que utiliza las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para representar la posición relativa al centro del elipsoide de referencia) a longitud es:

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$

donde atan2 es la función arcotangente que resuelve cuadrantes.

La longitud geocéntrica y la longitud geodésica tienen el mismo valor, lo que es cierto para la Tierra y otros planetas de forma similar porque tienen una gran cantidad de simetría rotacional alrededor de su eje de giro (véase geodésicas sobre un elipsoide para una generalización de esta idea).

La conversión para la latitud y la altura implica una relación circular que involucra N, que es una función de la latitud:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}}$,

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N}$.

Se puede resolver de forma iterativa, por ejemplo,^[4],^[5] comenzando con una primera estimación h≈0 y luego actualizando N (a continuación se muestran métodos más elaborados).

Sin embargo, el procedimiento no es muy preciso debido a que ${\displaystyle N}$ y ${\displaystyle h}$ pueden tener valores separados por una diferencia del orden de 10⁶ unidades.^[6][7]

La siguiente ecuación de latitud geodésica irracional de Bowring,^[8] deducida simplemente de las propiedades anteriores, se puede resolver de manera eficiente mediante el método de iteración de Newton:^[9][10]

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

donde ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }$ y ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ como antes. La altura se calcula como:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

La iteración se puede transformar en el siguiente cálculo:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

donde ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

La constante ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ es un buen valor inicial para la iteración cuando ${\displaystyle h\approx 0}$. Bowring demostró que la iteración única produce una solución suficientemente precisa, aunque utilizó funciones trigonométricas adicionales en su formulación original.

La ecuación cuártica de ${\displaystyle \kappa }$, derivada de la anterior, se puede resolver mediante la solución de Ferrari^[11][12] para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

Existen varias técnicas y algoritmos, pero el más preciso, según Zhu,^[13] es el siguiente procedimiento establecido por Heikken,^[14] citado por Zhu, lo que se superpone con lo anterior. Se asume que los parámetros geodésicos ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$ son conocidos

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{m. Radio ecuatorial de la Tierra}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{m. Radio polar de la Tierra}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Nota: arctan2[Y, X] es la función tangente inversa de cuatro cuadrantes.

Para e² pequeñas, la serie de potencias

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

comienza con

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Para convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas de plano tangente local (ENU; del inglés "East-North-Up", un sistema este//norte-arriba que utiliza las coordenadas cartesianas (xEste, yNorte, zArriba) para representar la posición relativa a un origen local) es un proceso en dos etapas:

1. Convertir coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF
2. Convertir coordenadas ECEF a coordenadas ENU locales

Para transformar de coordenadas ECEF a coordenadas locales se necesita un punto de referencia local. Normalmente, este podría ser la ubicación de un radar. Si un radar está ubicado en ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ y una aeronave en ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$, entonces el vector que apunta desde el radar a la aeronave en el sistema de referencia ENU es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Nota: ${\displaystyle \ \phi }$ es la latitud geodésica; la latitud geocéntrica no es apropiado para representar la dirección vertical según el plano tangente local, y debe ser convertida si es necesario.

Es simplemente la inversión de la transformación de ECEF a ENU, por lo que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

La conversión de coordenadas y posiciones de mapas entre diferentes proyecciones que hacen referencia al mismo datum se puede lograr mediante fórmulas de traducción directa de una proyección a otra, o convirtiendo primero de una proyección ${\displaystyle A}$ a un sistema de coordenadas intermedio, como ECEF, y luego convirtiendo de ECEF a la proyección ${\displaystyle B}$. Las fórmulas involucradas pueden ser complejas y en algunos casos, como en la conversión de ECEF al sistema geodésico mencionada anteriormente, la conversión no tiene una solución de forma cerrada y se deben utilizar métodos aproximados. Referencias como el DMA Technical Manual 8358.1^[15] y el documento del USGS Map Projections: A Working Manual^[16] contienen fórmulas para la conversión de proyecciones de mapas. Es común utilizar programas informáticos para realizar tareas de conversión de coordenadas, como con el programa GEOTRANS compatible con el DoD y la NGA.^[17]