Coordenadas biangulares

Este tipo de coordenadas fue examinado por primera vez por Lazare Carnot, quien publicó sus resultados en 1803.^[1]

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Dado un punto por sus coordenadas biangulares ${\displaystyle P(\theta _{1},\theta _{2})}$ respecto a los dos puntos de referencia de coordenadas ${\displaystyle c_{1}=(a,0)}$ y ${\displaystyle c_{2}=(-a,0)}$, para determinar sus coordenadas cartesianas ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$, se debe calcular la intersección de las rectas ${\displaystyle r_{1}}$ y ${\displaystyle r_{2}}$ que pasan por ${\displaystyle c_{1}}$ y ${\displaystyle c_{2}}$ con los ángulos ${\displaystyle \theta _{1}}$ y ${\displaystyle \theta _{2}}$ respectivamente:

${\displaystyle r_{1}\equiv y=(x-a)\tan(\pi -\theta _{1})}$

${\displaystyle r_{2}\equiv y=(x+a)\tan \theta _{2}}$

para simplificar la notación, si se denominan:

${\displaystyle m_{1}=\tan(\pi -\theta _{1})}$

${\displaystyle m_{2}=\tan \theta _{2}}$

se tiene que resolviendo la intersección de las dos rectas, resulta que ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$:

${\displaystyle x_{p}={\frac {a\;(m_{1}+m_{2})}{m_{1}-m_{2}}}}$ ; ${\displaystyle y_{p}={\frac {2a\;m_{1}\;m_{2}}{m_{1}-m_{2}}}}$

Utilizando la misma notación, es inmediato deducir que a partir de las coordenadas cartesianas de un punto ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$, se obtienen las coordenadas biangulares ${\displaystyle P(\theta _{1},\theta _{2})}$ según las expresiones:

${\displaystyle \theta _{1}=\pi -\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}-a}}}$ ; ${\displaystyle \theta _{2}=\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}+a}}}$

siendo arctg2 una generalización de la función trigonométrica arcotangente con dos parámetros, utilizada a menudo en relaciones inversas en un plano para evitar la ambigüedad en el ángulo resultante.

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En coordenadas biangulares se pueden expresar fácilmente las ecuaciones de algunas curvas:^[2]

Ecuación de una circunferencia:

• ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=k}$

Ecuación de la hipérbola:

• ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=k}$

Cuando los puntos ${\displaystyle c_{2}}$ y ${\displaystyle c_{1}}$ se eligen con las coordenadas ${\displaystyle (0,0)}$ y ${\displaystyle (1,0)}$, la expresión de las siguientes curvas toma la forma:

Ecuación de la parábola ${\displaystyle (y=x^{2}-x)}$:

(Pasa por los puntos ${\displaystyle c_{2}}$ y ${\displaystyle c_{1}}$)

• ${\displaystyle \tan \theta _{1}-\tan \theta _{2}=1}$

Ecuación de la elipse ${\displaystyle (y=k{\sqrt {0.5^{2}-(x-0.5)^{2}}})}$:

(su diámetro pasa por los puntos ${\displaystyle c_{2}}$ y ${\displaystyle c_{1}}$, y la relación entre la longitud de sus ejes es ${\displaystyle k}$)

• ${\displaystyle \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}=-k^{2}}$