Coordenadas esferoidales prolatas

La definición más común de las coordenadas esferoidales prolatas ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ es

${\displaystyle x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\cosh \mu \cos \nu }$

donde ${\displaystyle \mu }$ es un número real no negativo y ${\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}$. El ángulo azimutal ${\displaystyle \varphi }$ pertenece al intervalo ${\displaystyle [0,2\pi ]}$.

La identidad trigonométrica

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las superficies de ${\displaystyle \mu }$ constante forman esferoides prolatos, ya que son elipses rotadas sobre el eje que une sus focos. De manera similar, la identidad trigonométrica hiperbólica

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las superficies de ${\displaystyle \nu }$ constante forman hiperboloides de revolución.

Las distancias desde los focos ubicados en ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$ son

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).}$

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Los factores de escala para las coordenadas elípticas ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ son iguales

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

mientras que el factor de escala azimutal es

${\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}$

lo que da como resultado la métrica

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left[(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\mu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\nu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu )d\varphi ^{2}\right].\end{aligned}}}$

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu \,d\varphi }$

y el laplaciano puede escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ pueden expresarse en las coordenadas ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

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A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales prolatas ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$, donde ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ y ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Por lo tanto, las superficies de ${\displaystyle \sigma }$ constante son esferoides alargados, mientras que las superficies de ${\displaystyle \tau }$ constante son hiperboloides de revolución. La coordenada ${\displaystyle \tau }$ pertenece al intervalo [-1, 1], mientras que la coordenada ${\displaystyle \sigma }$ debe ser mayor o igual a uno.

Las coordenadas ${\displaystyle \sigma }$ y ${\displaystyle \tau }$ tienen una relación simple con las distancias a los focos ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$. Para cualquier punto en el plano, la suma ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ de sus distancias a los focos es igual a ${\displaystyle 2a\sigma }$, mientras que su diferencia ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ es igual a ${\displaystyle 2a\tau }$. Por lo tanto, la distancia a ${\displaystyle F_{1}}$ es ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, mientras que la distancia a ${\displaystyle F_{2}}$ es ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ (debe recordarse que ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$ se encuentran en ${\displaystyle z=-a}$ y ${\displaystyle z=+a}$, respectivamente). Esto da las siguientes expresiones para ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \tau }$ y ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

A diferencia de las análogas coordenadas esferoidales oblatas, las coordenadas del esferoide prolato (σ, τ, φ) no están degeneradas. En otras palabras, existe una correspondencia única y reversible entre ellas y las coordenadas cartesianas

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$

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Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$ son

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

mientras que el factor de escala azimutal es

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en

${\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

y el laplaciano es igual a

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[(1-\tau ^{2}){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ se pueden expresar en las coordenadas ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

Como es el caso con coordenadas esféricas, la ecuación de Laplace se puede resolver por el método de separación de variables para obtener soluciones en la forma armónicos esferoidales prolatos, cuyo uso es conveniente cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal prolata constante (véase Smythe, 1968).

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Como ya sabemos, las coordenadas esferoidales prolatas ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ se definen mediante la transformación a cartesianas ${\textstyle \left\{{\begin{matrix}x=\sinh(\mu )\sin(\nu )\cos(\varphi )\\y=\sinh(\mu )\sin(\nu )\sin(\varphi )\\z=\cosh(\mu )\cos(\nu )\end{matrix}}\right.}$

El Jacobiano de esta transformación es la matriz de derivadas parciales ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \mu }}&{\frac {\partial x}{\partial \nu }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \mu }}&{\frac {\partial y}{\partial \nu }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial z}{\partial \mu }}&{\frac {\partial z}{\partial \nu }}&{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}}$, evaluando:

${\textstyle J=\left({\begin{array}{ccc}\cosh(\mu )\sin(\nu )\cos(\varphi )&\sinh(\mu )\cos(\nu )\cos(\varphi )&\sinh(\mu )(-\sin(\nu ))\sin(\varphi )\\\cosh(\mu )\sin(\nu )\sin(\varphi )&\sinh(\mu )\cos(\nu )\sin(\varphi )&\sinh(\mu )\sin(\nu )\cos(\varphi )\\\cos(\nu )&-\mu \sin(\nu )&0\\\end{array}}\right)}$

Cuyo determinante es:

${\displaystyle {\text{det }}J=\sinh ^{2}(\mu )\sin(\nu )\cos ^{2}(\nu )\sin ^{2}(\varphi )+\sinh ^{2}(\mu )\sin(\nu )\cos ^{2}(\nu )\cos ^{2}(\varphi )+\mu \sinh(\mu )\cosh(\mu )\sin ^{3}(\nu )\sin ^{2}(\varphi )+\mu \sinh(\mu )\cosh(\mu )\sin ^{3}(\nu )\cos ^{2}(\varphi )}$

Simplificando:

${\displaystyle {\text{det }}J=\sinh(\mu )\sin(\nu )\left(\sinh(\mu )\cos ^{2}(\nu )+\mu \cosh(\mu )\sin ^{2}(\nu )\right)}$