Coordenadas hiperbólicas
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En matemáticas, las coordenadas hiperbólicas son un método útil para la localización de puntos en el primer cuadrante de un plano cartesiano.
Las coordenadas hiperbólicas asumen los valores tales que:
Para un punto en tenemos
y
El parámetro algumas veces es llamado ángulo hiperbólico y es la media geométrica.
La transformación inversa es
Esta es una transformación continua, pero no es una función analítica.
La correspondencia
proporciona la estructura de geometría hiperbólica a Q, que es proyectada sobre HP por movimientos hiperbólicos. Las líneas hiperbólicas de Q son rectas que parten del origen o curvas en forma de pétalo que salen y entran por el origen. El deslocamiento de izquierda a derecha de HP corresponde a un mapeamiento comprimido aplicado a Q. Nótese que las hipérboles de Q no representan geodésicas en este modelo.
Caso se considere apenas a topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q, entonces la frontera de Q parece próxima a P. El espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q posee apenas el origen como frontera, cuando es visto como el modelo cuadrante del plano hiperbólico. De hecho, si se consideran "rayos" a partir del origen de Q y sus imágenes, que son los rayos verticales de frontera R de HP. Cualquier punto de HP está a una distancia infinita del punto p no pé da normal a R, pero una secuencia de puntos desta perpendicular puede tender una dirección de p. La secuencia correspondiente en Q tiende al largo de un rayo en dirección al origen. La antigua frontera euclidiana de Q es irrelevante para el modelo cuadrante.
Aplicaciones a las ciencias físicas
Relaciones con unidades físicas, como:
- E = IR: Ley de Ohm
- P = VI: Potencia eléctrica
- PV = kT: Ley de los gases ideales
- f λ = c: Ondas senoidales
todas sugiriendo un análisis cuidadoso de los ejes coordenados. Por ejemplo, en la termodinámica el proceso isotérmico sigue explícitamente el camino hiperbólico y el trabajo puede ser interpretado como una variación del ángulo hiperbólico. De esa misma manera, un proceso isobárico puede resultar en una hipérbole en el eje de la temperatura versus la densidad absoluta del gas.
Para ver las coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, ver la sección Historia más abajo.
Aplicaciones a la estadística
- Estudios comparativos de la densidad poblacional comienzan escogiendo un país, región o área urbana de referencia, cuya población en el área es tomada como el punto (1,1).
- Análisis de los representantes políticos de una región bajo un régimen democrático comienza escogiendo de un padrón de comparación: un grupo particular representativo, cuya magnitud y pizarra magnitud (de representantes) es de (1,1) en el gráfico.
