Corriente de probabilidad

En mecánica cuántica no relativista, la corriente de probabilidad j de la función de onda ${\displaystyle \Psi }$ de una partícula de masa ${\displaystyle m}$ en una dimensión se define como^[2]

$${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$

donde ${\displaystyle \Psi ^{*}}$ denota el complejo conjugado de la función de onda, ${\displaystyle \Re }$ denota la parte real, y ${\displaystyle \Im }$ denota la parte imaginaria. Nótese que la corriente de probabilidad es proporcional a un Wronskiano ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*})}$. En tres dimensiones, lo anterior se generaliza como:

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$

donde ${\displaystyle \hbar }$ es la constante de Planck reducida, ${\displaystyle m}$ es la masa de la partícula, ${\displaystyle \Psi }$ es la función de onda, y ${\displaystyle \nabla }$ denota el gradiente u operador. Esto se puede simplificar en términos del operador de momento lineal,

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

para obtener

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)}$$

Estas definiciones utilizan la base de posición (es decir, para una función de onda en el espacio de posición), pero es posible el espacio de momento.

La definición anterior debe ser modificada para un sistema en un campo electromagnético externo. En unidades del SI, una partícula cargada de masa m y carga eléctrica q incluye un término debido a la interacción con el campo electromagnético;^[3]

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

donde A = A(r, t) es el potencial magnético. El término q·A tiene dimensiones de momento. Obsérvese que ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ utilizado aquí es el momento canónico y no es invariante gauge, a diferencia del operador de momento. ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$. En unidades gaussianas:

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

donde c es la velocidad de la luz.

• Densidad de corriente

• Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.